Mathématiques · 5ème → 4ème
Révisions 2026
Révise avant
la 4ème
Fiches de cours + exercices corrigés - Mathématiques 5ème
Chapitres
Conçu par Philippe Auria · Collège Fernand Donatien · Fort-de-France
Révisions 5ème → 4ème · 2026
Rappels - Nombres décimaux, les 4 opérations
Chapitre 1 · 5 exercices
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🔢 Les nombres décimaux
+/− Addition et soustraction posées
× Multiplication de deux nombres décimaux
÷ Division d'un nombre décimal par un entier
≈ Ordre de grandeur
📏 Priorités opératoires
🔢 Les nombres décimaux
Définition : Un nombre décimal est un nombre qui peut toujours s'écrire sous forme d'une fraction décimale, qui peut être décomposée.
Exemple : 3,7 est un nombre décimal car 3,7 = 3710
Définition : Une fraction décimale est une fraction dont le dénominateur est 1, 10, 100 ou 1 000…
Exemples : 710  ;  43100  ;  1251 000   sont des fractions décimales.
Par convention, les nombres décimaux s'écrivent avec une virgule.
Exemple : 4 236,157
   Partie entière = 4 236   ·   Partie décimale = 0,157

Un nombre décimal est égal à la somme de sa partie entière et de sa partie décimale.
Tableau des rangs - Exemple : 4 236,157
Partie entière Partie décimale
millions milliers unités
C D U C D U C D U dixièmes centièmes millièmes
4 2 3 6 , 1 5 7
4 236,157 = 4 236 + 110 + 5100 + 71 000
La demi-droite graduée - repérage d'un point
● L'origine O correspond au nombre 0 ● L'unité est reportée régulièrement sur toute la demi-droite ● Chaque point est repéré par un nombre appelé son abscisse ● À chaque nombre correspond un point unique
L'abscisse du point A est 1,25 et on note A(1,25).
Les sous-unités permettent de repérer des nombres décimaux entre deux nombres entiers.
+/− Addition et soustraction posées
Règle : pour additionner ou soustraire des nombres décimaux posés, on aligne toujours les virgules les unes sous les autres (donc les unités sous les unités, les dixièmes sous les dixièmes, etc.). On complète avec des zéros si nécessaire pour que tous les nombres aient le même nombre de chiffres après la virgule.
Exemple - Addition posée : 12,7 + 5,38
12,7 + 5,38 = 18,08
Exemple - Soustraction posée : 20,4 − 7,65
20,4 − 7,65 = 12,75
Astuce : 20,4 s'écrit aussi 20,40 (on ajoute un zéro) pour avoir le même nombre de chiffres après la virgule que 7,65.
× Multiplication de deux nombres décimaux
Méthode :
1) On effectue la multiplication comme si les nombres étaient entiers (sans les virgules).
2) On compte le nombre total de chiffres après la virgule dans les deux nombres de départ.
3) On place la virgule dans le résultat en comptant ce même nombre de chiffres à partir de la droite.
Exemple - Multiplication posée : 3,2 × 1,5
On ignore les virgules et on calcule 32 × 15 = 480.
3,2 a 1 chiffre après la virgule  ·  1,5 a 1 chiffre après la virgule  →  1 + 1 = 2 chiffres au total.
On place la virgule 2 rangs avant la fin dans 480 :
3,2 × 1,5 = 4,80 = 4,8
Exemple - 0,25 × 0,4
0,25 × 0,4
25 × 4 = 100 (comme des nombres entiers)
0,25 a 2 chiffres après la virgule, 0,4 a 1 chiffre après la virgule → 2 + 1 = 3 chiffres au total
100 n'a que 3 chiffres, on ajoute un zéro devant : 0,25 × 0,4 = 0,100 = 0,1
Multiplier par 10, 100, 1000... : on déplace la virgule vers la droite d'autant de rangs qu'il y a de zéros. Exemple : 4,57 × 100 = 457.
Diviser par 10, 100, 1000... : on déplace la virgule vers la gauche d'autant de rangs qu'il y a de zéros. Exemple : 4,57 ÷ 100 = 0,0457.
÷ Division d'un nombre décimal par un nombre entier
Méthode : on pose la division comme pour des nombres entiers. Dès que l'on « fait descendre » le chiffre des dixièmes du dividende, on place une virgule au quotient. On peut continuer en ajoutant des zéros au dividende pour obtenir un quotient décimal, ou pour obtenir une valeur approchée.
Exemple - 25,2 ÷ 4
25,2 ÷ 4 = 6,3
Valeur approchée : quand la division ne se termine pas (ou que l'on ne veut pas trop de chiffres), on arrête le calcul et on donne une valeur approchée. Exemple : 10 ÷ 3 ≈ 3,33 (valeur approchée au centième par défaut).
≈ Ordre de grandeur
Définition : un ordre de grandeur est une valeur approchée simple d'un résultat, obtenue en remplaçant les nombres par des valeurs arrondies faciles à calculer mentalement. Il permet de vérifier rapidement si un résultat est cohérent.
Exemple
29,8 × 5,1  →  ordre de grandeur : 30 × 5 = 150
Le résultat exact (29,8 × 5,1 = 151,98) est bien proche de 150 : le calcul est cohérent.
📏 Priorités opératoires
L'ordre de calcul est toujours :
1) Calculs dans les parenthèses (de l'intérieur vers l'extérieur)
2) Multiplications et divisions (de gauche à droite)
3) Additions et soustractions (de gauche à droite)
Exemple - sans parenthèses
5 + 3 × 4 − 6 ÷ 2
= 5 + 12 − 3   (× et ÷ en premier)
= 14
Exemple - avec parenthèses
(5 + 3) × (4 − 6 ÷ 2)
= 8 × (4 − 3)   (parenthèses : division d'abord dans la 2e)
= 8 × 1 (parenthèses)
= 8
Priorités opératoires
Chapitre 2 · 5 exercices
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📚 Termes, facteurs et quotient
① Calculs sans parenthèses
② Calculs avec parenthèses
✓ Bilan - ordre des calculs
📚 Termes, facteurs et quotient
Opérations Nombre 1 Opérateur Nombre 2 Égalité Résultat
Addition Terme + Terme = Somme
Soustraction Terme − Terme = Différence
Multiplication Facteur × Facteur = Produit
Une division est une opération qui permet de calculer un quotient.
Soit a et b deux nombres avec b ≠ 0.
Le quotient de a par b se note a : b ou ab.
① Calculs sans parenthèses
Règle n°1 : dans un calcul sans parenthèses ne comportant que des additions et des soustractions, on effectue les calculs de la gauche vers la droite.
Exemple - Règle n°1
A = 12 − 5 + 8 − 3
=7 + 8 − 3 (de gauche à droite)
=15 − 3
=12
Règle n°2 : dans un calcul sans parenthèses, il faut effectuer les multiplications et les divisions avant les additions et les soustractions. On dit que les multiplications et les divisions sont prioritaires sur les additions et les soustractions.
Exemple - Règle n°2
B = 5 + 3 × 4 − 6 ÷ 2
=5 + 12 − 3 (× et ÷ d'abord)
=17 − 3
=14
⚠ Attention : sans parenthèses, on ne calcule jamais simplement « de gauche à droite » s'il y a un mélange d'opérations. Il faut d'abord repérer les × et ÷, les calculer, puis terminer avec les + et −.
② Calculs avec parenthèses
Règle n°3 : il faut d'abord effectuer les calculs entre parenthèses. S'il y a des parenthèses à l'intérieur d'autres parenthèses, on commence par les parenthèses intérieures.
Exemple - une seule parenthèse
C = (5 + 3) × (4 − 6 ÷ 2)
=8 × (4 − 3) (parenthèses : ÷ d'abord dans la 2e)
=8 × 1
=8
Exemple - parenthèses dans des parenthèses
D = 3 × [ 7 − (2 + 1) ]
=3 × [ 7 − 3 ] (parenthèse intérieure d'abord)
=3 × 4
=12
✓ Bilan - l'ordre des calculs
1) Calculs entre parenthèses (de l'intérieur vers l'extérieur)
2) Multiplications et divisions, de gauche à droite
3) Additions et soustractions, de gauche à droite
Arithmétique
Chapitre 3 · 5 exercices
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➗ Division euclidienne
✓ Critères de divisibilité
★ Nombres premiers
⚙ Décomposition en facteurs premiers
➗ Division euclidienne
Effectuer la division euclidienne d'un nombre entier a (dividende) par un nombre entier b différent de 0 (diviseur), c'est trouver deux nombres entiers q (quotient) et r (reste) tels que :
a = b × q + r,  avec  r < b
Exemple - Division euclidienne de 3 673 par 24
3 673 = 24 × 153 + 1
Si le reste de la division euclidienne de a par b est égal à 0, alors on dit que :
a est divisible par b,  ou  a est un multiple de b,  ou  b est un diviseur de a.
Exemples
28 = 7 × 4 + 0  →  28 est divisible par 7, donc 28 est un multiple de 7, et 7 est un diviseur de 28.
45 = 9 × 5 + 0  →  45 est un multiple de 9 (et de 5), et 9 (ainsi que 5) est un diviseur de 45.
✓ Critères de divisibilité
Un nombre entier est :
Divisible par 2
chiffre des unités
0, 2, 4, 6 ou 8
Divisible par 5
chiffre des unités
0 ou 5
Divisible par 10
chiffre des unités
0
Divisible par 3
somme des chiffres
multiple de 3
Divisible par 9
somme des chiffres
multiple de 9
Divisible par 4
2 derniers chiffres
multiple de 4
Exemple
Pour 4 185 :  4+1+8+5 = 18, et 18 est un multiple de 9 et de 3
Donc 4 185 est divisible par 9 et par 3.
★ Nombres premiers
Un nombre premier est un nombre entier qui admet exactement deux diviseurs : 1 et lui-même.
Exemples
6 n'est pas premier : il admet 2 et 3 comme diviseurs (en plus de 1 et 6).
7 est un nombre premier : il n'est divisible que par 1 et par 7.
⚙ Décomposition en produit de facteurs premiers
Méthode : on divise le nombre par le plus petit nombre premier possible, puis on répète l'opération sur le quotient obtenu, jusqu'à obtenir 1.
Exemple - Décomposition de 90
90 = 2 × 3 × 3 × 5
Symétries
Chapitre 4 · 5 exercices
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📐 Symétrie axiale
🔄 Symétrie centrale
✏️ Construire le symétrique
🎯 Centre de symétrie
📐 Symétrie par rapport à une droite (symétrie axiale)
Deux figures sont symétriques par rapport à une droite lorsqu'en pliant suivant cette droite, les deux figures se superposent. Cette droite est l'axe de symétrie.
Exemple - Symétrique d'un triangle par rapport à la droite (d)
● Chaque point et son symétrique sont à la même distance de l'axe (d) ● Le segment qui relie un point à son symétrique est perpendiculaire à (d)
🔄 Symétrie par rapport à un point (symétrie centrale)
Deux figures sont symétriques par rapport à un point lorsque ces deux figures se superposent en effectuant un demi-tour autour de ce point. Ce point est appelé le centre de la symétrie.
Exemple - Symétrique d'un triangle par rapport au point O
● Le point O est le milieu du segment qui relie un point à son symétrique
Propriété : la symétrie centrale, comme la symétrie axiale, conserve l'alignement, les longueurs, les angles et les aires.
✏️ Construire le symétrique d'un point par rapport à un point
Pour tracer le symétrique d'un point A par rapport à un point O :
1) On trace la demi-droite [AO)
2) On reporte la longueur AO de l'autre côté du point O : on obtient le point A'
Exemple - Construction du symétrique de A par rapport à O
O est le milieu de [AA']  :  AO = OA'
🎯 Centre de symétrie d'une figure
Un point est un centre de symétrie d'une figure, lorsque le symétrique de cette figure par rapport à ce point est la figure elle-même.
Exemples de figures avec un centre de symétrie
Nombres en écriture fractionnaire
Chapitre 5 · 5 exercices
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📚 Nombre rationnel
📏 Repérer sur une droite graduée
⚖️ Égalité de quotients
✂️ Simplifier une fraction
➕ Même dénominateur
➗ Dénominateur multiple
📚 Définition d'un nombre rationnel
a et b désignent deux nombres entiers relatifs avec b ≠ 0.
Le quotient de a par b est le nombre qui, multiplié par b, donne a.
Ce quotient noté a:b ou ab, est un NOMBRE RATIONNEL.
Ainsi, ab × b = a
Dans l'écriture ND = N:D : N est le numérateur (le dividende), D est le dénominateur (le diviseur).
Exemple
Le quotient de 2 par 5 est le nombre qui, lorsqu'on le multiplie par 5, donne 2. Ce quotient se note 25.
On a donc : 25 × 5 = 2
📏 Repérer et placer un nombre en écriture fractionnaire sur une droite graduée
Exemple - Demi-droite graduée en cinquièmes
L'unité est partagée en 5, donc la demi-droite est graduée en cinquièmes. L'abscisse du point A est 45. On le note A(45).
⚖️ Égalité de quotients
Un quotient ne change pas lorsqu'on multiplie (ou lorsqu'on divise) son numérateur et son dénominateur par un même nombre non nul.
Si a, b, k désignent des nombres décimaux avec b ≠ 0 et k ≠ 0 :
ab = a×kb×k   et   ab = a:kb:k
Exemples
78 = 7×108×10 = 7080
43 = 4×23×2 = 86
1215 = 12:315:3 = 45
✂️ Simplifier une fraction
Simplifier une fraction, c'est trouver une fraction qui lui est égale mais avec un numérateur et un dénominateur plus petits. Pour cela, on utilise les critères de divisibilité, les tables ou la décomposition en facteurs premiers.
Exemple
72108 = 8×99×12 = 812
➕ Additionner ou soustraire - même dénominateur
Pour additionner ou soustraire deux nombres en écriture fractionnaire de même dénominateur :
1) On additionne (ou on soustrait) les numérateurs
2) On garde le dénominateur commun
a, b et D désignent trois nombres décimaux avec a > b et D ≠ 0 :
aD + bD = a+bD     aD − bD = a−bD
Exemple
43 + 73 = 113
➗ Additionner ou soustraire - dénominateur multiple de l'autre
Pour additionner ou soustraire deux nombres en écriture fractionnaire quand le dénominateur de l'un est multiple du dénominateur de l'autre :
1) On écrit les deux fractions avec le même dénominateur
2) On garde le dénominateur commun
3) On additionne ou on soustrait les numérateurs
Exemple
34 + 78
= 3×24×2 + 78
= 68 + 78
= 138
Triangles, Angles, Parallèles
Chapitre 6
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🔺 Les différents triangles
📐 Inégalité triangulaire
∠ Somme des angles
⊥ Médiatrice
↕ Hauteur d'un triangle
✕ Angles opposés par le sommet
∥ Angles alternes-internes
🔺 Les différents triangles
Un triangle est un polygone fermé à 3 côtés.
Triangle quelconque
Ses trois côtés ont des longueurs différentes et ses trois angles ont des mesures différentes.
Triangle isocèle
AB = AC
Un triangle isocèle a deux côtés de même longueur. Les angles à la base sont égaux.
Triangle équilatéral
AB = AC = BC
Un triangle équilatéral a ses trois côtés de même longueur. Les trois angles mesurent chacun 60°.
Triangle rectangle
Un triangle rectangle a un angle droit. Le côté opposé à l'angle droit est appelé l'hypoténuse : c'est le plus long côté du triangle.
Construction au compas, à partir d'un segment tracé
On veut construire le triangle ABC tel que AB = 5 cm, AC = 4 cm et BC = 3 cm.
1) On trace le segment [AB] de longueur 5 cm.
2) On pique le compas en A, on l'écarte de 4 cm (longueur AC) et on trace un arc de cercle.
3) On pique le compas en B, on l'écarte de 3 cm (longueur BC) et on trace un second arc de cercle. Leur point d'intersection est le point C.
📐 Inégalité triangulaire
Le chemin le plus court entre deux points est toujours la ligne droite.
Dans un triangle ABC, la mesure de chaque côté est inférieure à la somme des deux autres :
AC < AB + BC   |   AB < AC + BC   |   BC < AB + AC
Pour qu'un triangle soit constructible, il faut que chaque côté soit plus court que la somme des deux autres. En pratique, il suffit de vérifier que le plus grand côté est strictement inférieur à la somme des deux autres.
Exemples
a) AB=6 cm, AC=2,5 cm, BC=3 cm. Le plus grand côté est AB=6 cm. On vérifie : 6 > 2,5+3 = 5,5. La condition n'est pas remplie : on ne peut pas construire ce triangle.
b) EF=3 cm, ED=7 cm, FD=6 cm. Le plus grand côté est ED=7 cm. On vérifie : 7 < 6+3 = 9. La condition est remplie : on peut construire ce triangle.
Points alignés : A, B et M sont alignés si et seulement si AB = AM + MB (M est entre A et B).
∠ Somme des angles d'un triangle
Dans tout triangle, la somme des trois angles est égale à 180°.
Exemple - Trouver l'angle BCA
ABC + BAC = 40° + 80° = 120°
BCA = 180° − 120° = 60°
⊥ Médiatrice d'un segment
La médiatrice d'un segment est la droite qui passe par le milieu de ce segment et qui lui est perpendiculaire.
Propriété : si un point M appartient à la médiatrice de [AB], alors MA = MB.
Réciproquement : si MA = MB, alors M appartient à la médiatrice de [AB].
↕ Hauteur d'un triangle
Dans un triangle, une hauteur est une droite qui passe par un sommet et qui est perpendiculaire au côté opposé.
Dans un triangle, les 3 hauteurs sont concourantes en un point appelé l'orthocentre.
✕ Angles opposés par le sommet
Deux angles sont opposés par le sommet lorsque leurs côtés se prolongent mutuellement (formant une croix).
Deux angles opposés par le sommet ont la même mesure.
∥ Angles alternes-internes et correspondants
Deux droites (D) et (D') coupées par une sécante (Δ) déterminent deux types d'angles remarquables :
- Alternes-internes : de part et d'autre de la sécante, à l'intérieur des droites.
- Correspondants : du même côté de la sécante, un à l'intérieur, l'autre à l'extérieur.
Si deux droites parallèles sont coupées par une sécante, alors les angles alternes-internes (ou correspondants) sont de même mesure.
Réciproquement : si des angles alternes-internes (ou correspondants) sont de même mesure, alors les droites sont parallèles.
Calculs avec des durées
Chapitre 7 · 2 exercices
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🕐 Durées et horaires
⏱️ Heures / min / secondes
🔢 Heures décimales
📈 Représentation graphique
🕐 Calculer des durées et des horaires
1 heure = 60 minutes   |   1 minute = 60 secondes   |   1 heure = 3 600 secondes
Exemple 1 - Calculer une durée
Martin part du collège à 17h 35 et arrive chez lui à 19h 03. Quelle est la durée de son trajet ?
Son trajet a donc duré 1h 28 min.
Exemple 2 - Calculer une heure d'arrivée
Le bus de Célia part à 7h 53 et son trajet dure un quart d'heure. À quelle heure arrive Célia ?
7h 53 min + 15 min = 8h 08 min
⏱️ Transformer les heures en minutes et secondes
Pour convertir en secondes : on multiplie les minutes par 60 puis on ajoute les secondes.
Exemple
Transformer 5 min 23 s en secondes :
5 min 23 s = 5 × 60 + 23
= 300 + 23
= 323 s
🔢 Heures décimales
Les heures décimales sont les heures exprimées sous forme de nombres décimaux (et non en heures-minutes-secondes). Cette forme est indispensable pour faire des calculs comme la vitesse.
Exemple - Convertir des minutes en heures décimales
Quelle est la forme décimale de 24 minutes ?
Il s'agit de proportionnalité entre les minutes et les heures :
t = 24 ÷ 60 = 0,4 h
24 minutes = 0,4 h en nombre décimal.
Exemple - Calculer une vitesse moyenne
Un avion parcourt 3 145 km en 3h 42 min. Quelle est sa vitesse moyenne ?
3h 42 min = 3 + 42 ÷ 60 = 3 + 0,7 = 3,7 h
Vitesse = distancetemps décimal = 3 1453,7 = 850 km/h
📈 Représentation graphique d'une grandeur
Lorsqu'on représente une grandeur B en fonction d'une grandeur A :
- la grandeur A se lit sur l'axe des abscisses (horizontal)
- la grandeur B se lit sur l'axe des ordonnées (vertical)
Exemple : température (ordonnées) en fonction de l'heure (abscisses)
Quatrième proportionnelle
Chapitre 8 · 5 exercices
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📊 Tableau de proportionnalité
🔧 Quatrième proportionnelle
📊 Tableau de proportionnalité
Un tableau est dit de proportionnalité quand on obtient chaque nombre d'une ligne en multipliant le nombre correspondant de l'autre ligne par un même nombre, appelé coefficient de proportionnalité.
Exemple - Prix de pizzas (1 pizza = 7 €)
Le coefficient de proportionnalité est 7 (le prix d'une pizza). On vérifie : 3 × 7 = 21  |  4 × 7 = 28  |  5 × 7 = 35.
🔧 Comment calculer une quatrième proportionnelle ?
À l'aide du tableau, calculer le prix de 4 et 5 pizzas (3 pizzas coûtent 21 €).
Méthode 1 - Coefficient de proportionnalité / Passage à l'unité
Prix d'1 pizza : 21 ÷ 3 = 7 €
Prix de 4 pizzas : 4 × 7 = 28 €
Prix de 5 pizzas : 5 × 7 = 35 €
Méthode 2 - Propriétés de linéarité
3 + 1 = 4 pizzas  →  21 + 7 = 28 €
3 + 2×1 = 5 pizzas  →  21 + 2×7 = 35 €
Méthode 3 - Règle de trois
4 × 21 ÷ 3 = 28 €
5 × 21 ÷ 3 = 35 €
Règle de trois :   ab = cx  →  x = c × ba
Pourcentages
Chapitre 9 · 4 exercices
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📐 Notation des pourcentages
🔢 Calculer un pourcentage
✏️ Prendre le pourcentage
📐 Notation des pourcentages
Le symbole % signifie une fraction de dénominateur 100.
Un pourcentage traduit une situation de proportionnalité où la quantité totale est ramenée à 100.
Exemples de conversion
20% = 20100 = 0,2
75% = 75100 = 0,75
3,5% = 3,5100 = 0,035
Exemple - Fromage à 40 % de matières grasses
→ Dans 100 g de fromage, il y a 40 g de matières grasses.
→ Il y a proportionnalité entre la quantité de MG et la quantité de fromage.
❓ Quelle est la masse de MG dans 20 g de fromage ?
40100 × 20 = 8 g de matières grasses.
🔢 Calculer un pourcentage à partir de deux quantités
Un pourcentage n'est qu'une fraction de dénominateur 100.
Pour exprimer une proportion en pourcentage, on écrit la fraction, puis on la simplifie ou on la convertit pour obtenir un dénominateur 100.
Proportion = PartieTotal = …100 = … %
Exemple - 3 élèves sur 4 font du sport
Proportion = 34 = 0,75 = 75100 = 75 %
Exemple - 171 garçons dans un collège de 360 élèves
Proportion = 171360 = 0,475 = 47,5100 = 47,5 %
✏️ Prendre le pourcentage d'une quantité
Pour calculer p % d'une quantité, on multiplie cette quantité par p100.
Exemple
15 % des élèves n'aiment pas le fromage.
Sur un groupe de 20 enfants, combien n'aiment pas le fromage ?
15 % de 20 = 15100 × 20 = 15 × 20100 = 3 élèves
Aires et périmètres
Chapitre 10 · 6 exercices
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📐 Rectangle
⬛ Carré
🔺 Triangle
▱ Parallélogramme
⭕ Disque et cercle
⏢ Trapèze
📐 Rectangle
Soit un rectangle de longueur L et de largeur l.
Périmètre : P = 2 × (L + l)
Aire : A = L × l
Exemple - L = 8 cm, l = 3 cm
P = 2 × (8 + 3) = 2 × 11 = 22 cm
A = 8 × 3 = 24 cm²
⬛ Carré
Un carré est un rectangle dont tous les côtés sont égaux. On note c la mesure du côté.
Périmètre : P = 4 × c
Aire : A = c × c = c²
Exemple - c = 5 cm
P = 4 × 5 = 20 cm
A = 5² = 5 × 5 = 25 cm²
🔺 Triangle
La hauteur (h) d'un triangle est la perpendiculaire menée d'un sommet au côté opposé appelé base (b).
Périmètre : P = somme des longueurs des 3 côtés
Aire : A = b × h2
Exemple - b = 10 cm, h = 6 cm, côtés 7 cm et 9 cm
P = 10 + 7 + 9 = 26 cm
A = 10 × 62 = 602 = 30 cm²
▱ Parallélogramme
La hauteur (h) est perpendiculaire à la base (b).
Périmètre : P = somme des longueurs des 4 côtés
Aire : A = b × h
Exemple - b = 12 cm, h = 5 cm, côté oblique = 7 cm
P = 2 × (12 + 7) = 2 × 19 = 38 cm
A = 12 × 5 = 60 cm²
⭕ Disque et cercle
Le cercle est la ligne courbe ; le disque est la surface délimitée par ce cercle.
On note r le rayon. Le diamètre est le double du rayon : d = 2 × r. Le diamètre passe par le centre et joint deux points du cercle.
Périmètre (circonférence) : C = 2 × π × r
Aire du disque : A = π × r²
Exemple - r = 5 cm
C = 2 × π × 5 = 10π cm (valeur exacte) ≈ 31,42 cm
A = π × 5² = 25π cm² (valeur exacte) ≈ 78,54 cm²
⏢ Trapèze
Un trapèze possède deux bases parallèles : la grande base (B) et la petite base (b). La hauteur (h) est perpendiculaire aux deux bases.
Aire : A = (B + b) × h2
Exemple - B = 12 cm, b = 6 cm, h = 4 cm
A = (12 + 6) × 42 = 18 × 42 = 722 = 36 cm²
Nombres relatifs
Chapitre 11 · 6 exercices
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📌 Définition
📏 Droite graduée et repère
⚖️ Comparaison
➕ Addition
↔ Nombres opposés
➖ Soustraction
✏️ Simplification d'écriture
∑ Somme algébrique
📌 Définition
On appelle nombre relatif tout nombre positif, négatif ou nul.
Exemples
+5,4  ·  −3  ·  0  ·  +12  ·  −0,7 sont des nombres relatifs.
📏 Droite graduée et repère
Une droite graduée est une droite sur laquelle on a choisi :
  • Un point appelé Origine (abscisse : zéro)
  • Un sens
  • Une unité de longueur reportée régulièrement
Dans un repère, chaque point est repéré par deux nombres relatifs appelés ses coordonnées.
On appelle abscisse le nombre lu sur la droite graduée horizontale.
On appelle ordonnée le nombre lu sur la droite graduée verticale.
Les coordonnées s'écrivent dans l'ordre alphabétique : (Abscisse ; Ordonnée).
Exemple - repère (O, I, J)
O(0 ; 0)  ·  I(1 ; 0)  ·  J(0 ; 1)
Lecture des coordonnées
A(2 ; 1) → abscisse 2, ordonnée 1
B(−2 ; 3) → abscisse −2, ordonnée 3
C(1 ; −2) → abscisse 1, ordonnée −2
⚖️ Comparaison des nombres relatifs
Cas de deux nombres positifs : le plus grand est celui qui a la plus grande distance à zéro.
Ex : 12,5 < 13,7
Cas de deux nombres négatifs : le plus grand est celui qui a la plus petite distance à zéro.
Ex : −13,7 < −12,5
Cas de deux nombres de signes contraires : le plus grand est celui qui est positif.
Ex : −103,25 < 11,25
+/− Addition de nombres relatifs
Cas 1 - Les deux nombres ont le même signe
Règle : on garde le même signe et on additionne les distances à zéro.
Exemples
(+5) + (+2) = +7 même signe + → on garde + · distances : 5 + 2 = 7
(−5) + (−2) = −7 même signe − → on garde − · distances : 5 + 2 = 7
Cas 2 - Les deux nombres ont des signes différents
Règle :
• on prend le signe du nombre qui a la plus grande distance à zéro
• on soustrait les distances à zéro
Exemples
(+5) + (−2) = +3 5 > 2 → signe + · distance : 5 − 2 = 3
(−5) + (+2) = −3 5 > 2 → signe − · distance : 5 − 2 = 3
↔ Nombres opposés
Définition : deux nombres sont opposés quand leur somme est égale à 0.
Exemples
(+15) + (−15) = 0 donc +15 et −15 sont opposés
(+5,4) + (−5,4) = 0 donc +5,4 et −5,4 sont opposés
Remarque : l'opposé de +a est −a, et l'opposé de −a est +a. L'opposé de 0 est 0.
➖ Soustraction de nombres relatifs
Soustraire un nombre relatif revient à ajouter son opposé.
a − (+b) = a + (−b)   ·   a − (−b) = a + (+b)
Exemples
7 − (+3) = 7 + (−3) = +4
7 − (−3) = 7 + (+3) = +10
−4 − (−6) = −4 + (+6) = +2
✏️ Simplification d'écriture
On peut supprimer les parenthèses et simplifier les signes consécutifs selon les règles suivantes :
+ suivi de +donne+ + suivi de −donne− − suivi de +donne− − suivi de −donne+
Exemples
(+9) + (−5) s'écrit 9 − 5 = 4
(−4) − (−7) s'écrit −4 + 7 = 3
(+3) − (+8) s'écrit 3 − 8 = −5
(−6) + (+2) s'écrit −6 + 2 = −4
∑ Somme algébrique
Méthode : pour calculer une somme algébrique :
  1. On repère toutes les soustractions et on les transforme en additions (en changeant le nombre suivant en son opposé)
  2. On repère s'il y a des nombres opposés
  3. On regroupe les nombres positifs ensemble et les nombres négatifs ensemble
  4. On effectue le calcul
Exemple
A=−1 + (−2) − (+3) + (−4) + (+5) − (−6)
=−1 − 2 − 3 − 4 + 5 + 6 (simplification des signes)
=(5 + 6) + (−1 − 2 − 3 − 4) (regroupement positifs / négatifs)
=11 − 10
=1
Calcul littéral
Chapitre 12 · 5 exercices
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🔤 Expression littérale
⚖️ Égalité
🔢 Calculer une expression
✅ Tester une égalité
📐 Distributivité
🔤 Expression littérale
Une expression littérale est une expression dans laquelle un ou plusieurs nombres sont désignés par des lettres.
Exemples
Le périmètre d'un cercle : P = 2 × π × R
L'aire d'un rectangle : A = L × l
Le signe × peut être supprimé quand il est devant une lettre ou une parenthèse.
Notation des puissances
a × a = a2   se lit « a au carré »
car a2 représente l'aire d'un carré de côté a
a × a × a = a3   se lit « a au cube »
car a3 représente le volume d'un cube d'arête a
3 × 3 = 32  ·  8 × 8 × 8 = 83
⚖️ Égalité
Une égalité est constituée de deux membres séparés par un signe « = ».
Propriété : une égalité est vraie lorsque ses deux membres ont la même valeur.
🔢 Calculer la valeur d'une expression littérale
On remplace chaque lettre par sa valeur numérique (en rajoutant les signes ×), puis on calcule en respectant les priorités opératoires.
Exemple - calculer A = 7x − 2y pour x = 3 et y = 5
A=7 × x − 2 × y (on rajoute les × entre lettres et nombres)
=7 × 3 − 2 × 5 (on remplace x par 3 et y par 5)
=21 − 10
=11
✅ Tester si une égalité est vraie
On calcule chacun des membres de l'égalité séparément, puis on compare les résultats.
Exemple - tester l'égalité 3x − 5 = 2x − 2 pour x = 3
Membre gauche : 3 × 3 − 5 = 9 − 5 = 4
Membre droit : 2 × 3 − 2 = 6 − 2 = 4
Les deux membres sont égaux → l'égalité est vraie pour x = 3.
📐 Distributivité simple - développer
Développer un produit signifie le transformer en une somme.
k × (a + b) = k × a + k × b
k × (a − b) = k × a − k × b
Exemples numériques
A=12 × (5 + 3) = 12 × 5 + 12 × 3 = 60 + 36 = 96
B=18 × (100 − 1) = 18 × 100 − 18 × 1 = 1 800 − 18 = 1 782
Exemple littéral
C=7 × (x + 8) = 7 × x + 7 × 8 = 7x + 56
Probabilités
Chapitre 13 · 4 exercices
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🎲 Vocabulaire
P Probabilité
🌳 Arbre des possibles
🎲 Vocabulaire
Une expérience aléatoire est une expérience renouvelable dont on connaît tous les résultats possibles, appelés issues, sans pouvoir prévoir lequel va se produire.
Vocabulaire
• Un événement est un ensemble d'issues.
• Un événement est élémentaire quand il correspond à une seule issue.
Exemple - lancer une pièce de monnaie
On lance une pièce équilibrée. Cette expérience a 2 issues : Pile ou Face.
Ces issues ne dépendent pas des résultats des lancers précédents.
P Probabilité d'un événement
Définition - situation d'équiprobabilité
Quand toutes les issues ont la même probabilité de se produire, on est en situation d'équiprobabilité. Dans ce cas :
P(A) = nombre d'issues favorables à Anombre total d'issues
Propriétés
• Une probabilité est toujours comprise entre 0 et 1 : 0 ≤ P(A) ≤ 1.
• La somme des probabilités de toutes les issues est égale à 1.
Exemple - pièce équilibrée
On a autant de chance d'obtenir Pile ou Face : on note
P(Pile) = P(Face) = 12
🌳 Arbre des possibles
On schématise les issues d'une expérience à l'aide d'un arbre des possibles. Chaque branche porte la probabilité de l'issue correspondante. La somme des probabilités d'une même série de branches est égale à 1.
Exemple - roue à 8 secteurs
Une roue partagée en 8 secteurs : 1 rouge, 2 bleus, 3 jaunes, 2 verts.
P(Rouge) = 18  ·  P(Bleu) = 28  ·  P(Jaune) = 38  ·  P(Vert) = 28
Somme : 18 + 28 + 38 + 28 = 88 = 1
Statistiques
Chapitre 14 · 4 exercices
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📊 Les statistiques
📋 Tableau d'effectifs
% Fréquence
x̄ Moyenne
📦 Regroupement en classes
🥧 Diagramme circulaire
📊 Les statistiques
Les statistiques sont des calculs à partir de données réelles permettant d'interpréter ce qui s'est passé, et d'essayer de prévoir des comportements futurs.
📋 Tableau d'effectifs
Les valeurs sont regroupées en tableaux pour être plus lisibles.
Exemple - Notes d'un devoir dans une classe de 25 élèves
Note 37910111213141618
Effectif 1223544211
Effectif total : 1+2+2+3+5+4+4+2+1+1 = 25 élèves
% Fréquence
Fréquence = Effectif du caractère étudiéEffectif total
Exemple - Fréquence de la note 12
Note37910111213141618
Effectif1223544211
La note 12 se répète 4 fois.
Fréquence(12) = 425 = 0,16 = 16 %
x̄ Moyenne
La moyenne est la répartition équitable d'une quantité totale sur un effectif total.
Pour calculer une moyenne pondérée :
Moyenne = Somme des produits (valeur × effectif)Effectif total
Exemple - Moyenne des notes
Note37910111213141618
Effectif1223544211
Moyenne = 3×1 + 7×2 + 9×2 + 10×3 + 11×5 + 12×4 + 13×4 + 14×2 + 16×1 + 18×125
= 3 + 14 + 18 + 30 + 55 + 48 + 52 + 28 + 16 + 1825
= 28225 = 11,28 / 20
Cela signifie que si tous les élèves avaient la même note, ce serait 11,28 / 20.
📦 Regroupement en classes
Lorsque les données sont nombreuses, on peut les regrouper en classes pour faciliter leur lecture.
Il est souhaitable que chaque classe ait la même largeur.
Exemple - 4 classes de largeur 5 (notes de 0 à 20)
Classe [0 ; 5[ [5 ; 10[ [10 ; 15[ [15 ; 20]
Effectif 14182
Centre 2,57,512,517,5
La classe [0 ; 5[ : notes de 0 à 5, 5 non compris.
La classe [5 ; 10[ : notes de 5 à 10, 10 non compris.
La classe [10 ; 15[ : notes de 10 à 15, 15 non compris.
La classe [15 ; 20] : notes de 15 à 20 (20 compris).
Le centre de classe est la moyenne des deux bornes : centre de [5 ; 10[ = 5 + 102 = 7,5.
Moyenne approchée par classes
Moyenne = 2,5×1 + 7,5×4 + 12,5×18 + 17,5×225
= 2,5 + 30 + 225 + 3525
= 292,525 = 11,70 / 20
🥧 Diagramme circulaire
On représente souvent les données en diagramme circulaire (ou « camembert »).
On établit une relation de proportionnalité entre l'angle de chaque secteur et l'effectif correspondant.
Angle du secteur = EffectifEffectif total × 360°
Exemple - Tableau des angles (notes des 25 élèves)
Classe [0 ; 5[ [5 ; 10[ [10 ; 15[ [15 ; 20]
Effectif 14182
Fréquence 125 = 4 % 425 = 16 % 1825 = 72 % 225 = 8 %
Angle 14,4°57,6°259,2°28,8°
Vérification : 14,4 + 57,6 + 259,2 + 28,8 = 360° ✓
Détail du calcul - Angle pour la classe [10 ; 15[
Angle = 1825 × 360° = 0,72 × 360° = 259,2°