Mathématiques · 4ème → 3ème
Révisions 2026
Révise avant
la 3ème
Fiches de cours + exercices corrigés - Mathématiques 4ème
Chapitres
Conçu par Philippe Auria · Collège Fernand Donatien · Fort-de-France
Révisions 4ème → 3ème · 2026
Nombres relatifs - les 4 opérations
Chapitre 1 · 5 exercices
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↔ La droite des nombres
+/− Addition de relatifs
↔ Nombres opposés
× Multiplication
÷ Division
📏 Priorités opératoires
↔ La droite des nombres
Les nombres relatifs sont tous les nombres positifs et négatifs (y compris zéro). On les représente sur une droite graduée appelée droite des nombres. Les nombres positifs sont à droite de zéro, les nombres négatifs à gauche. Plus on va à gauche, plus le nombre est petit.
Droite des nombres
−5 < −3 < −1 < 0 < 2 < 4 < 5
Distance à zéro : la distance d'un nombre à zéro sur la droite des nombres est toujours positive ou nulle. Exemples : la distance de −5 à 0 vaut 5 ; la distance de +3 à 0 vaut 3.
+/− Addition de nombres relatifs
Cas 1 - Les deux nombres ont le même signe
Règle : on garde le même signe et on additionne les distances à zéro.
Exemples
(+ 5) + (+ 2) = + 7 même signe + → on garde +  ·  distances : 5 + 2 = 7
(− 5) + (− 2) = − 7 même signe − → on garde −  ·  distances : 5 + 2 = 7
Cas 2 - Les deux nombres ont des signes différents
Règle :
• on prend le signe du nombre qui a la plus grande distance à zéro
• on fait la soustraction entre la plus grande et la plus petite distance à zéro
Exemples
(+ 5) + (− 2) = + 3 5 > 2 → signe +  ·  distance : 5 − 2 = 3
(− 5) + (+ 2) = − 3 5 > 2 → signe −  ·  distance : 5 − 2 = 3
Soustraction - transformer en addition
Soustraire un nombre, c'est ajouter son opposé :
a − (+b) = a + (−b)   ·   a − (−b) = a + (+b)
Exemples
7 − (+3) = 7 + (−3) = + 4
7 − (−3) = 7 + (+3) = + 10
−4 − (−6) = −4 + (+6) = + 2
↔ Nombres opposés
Définition : deux nombres sont opposés quand leur somme est égale à 0.
Exemples
(+5) + (−5) = 0 donc +5 et −5 sont opposés
(−3) + (+3) = 0 donc −3 et +3 sont opposés
Remarque : l'opposé de +a est −a, et l'opposé de −a est +a. L'opposé de 0 est 0.
× Multiplication
Cas 1 - Les deux nombres ont le même signe
Règle : le signe est toujours positif · on multiplie les distances à zéro.
Exemples
(+ 5) × (+ 2) = + 10 même signe → + · distances : 5 × 2 = 10
(− 5) × (− 2) = + 10 même signe → + · distances : 5 × 2 = 10
Cas 2 - Les deux nombres ont des signes contraires
Règle : le signe est toujours négatif · on multiplie les distances à zéro.
Exemples
(+ 5) × (− 2) = − 10 signes contraires → − · distances : 5 × 2 = 10
(− 5) × (+ 2) = − 10 signes contraires → − · distances : 5 × 2 = 10
À retenir :
· Le produit de deux nombres de même signe est POSITIF.
· Le produit de deux nombres de signes contraires est NÉGATIF.
Produit de plusieurs facteurs
On compte le nombre de signes négatifs : s'il est pair le résultat est positif, s'il est impair le résultat est négatif.
Exemples
2 × (−3) × (−4) = + 24 (2 signes − → pair → +)
(−1) × (−2) × (−5) = − 10 (3 signes − → impair → −)
÷ Division
Cas 1 - Les deux nombres ont le même signe
Règle : le signe est toujours positif · on divise les distances à zéro.
Exemples
(+ 10) ÷ (+ 2) = + 5 même signe → + · distances : 10 ÷ 2 = 5
(− 10) ÷ (− 2) = + 5 même signe → + · distances : 10 ÷ 2 = 5
Cas 2 - Les deux nombres ont des signes contraires
Règle : le signe est toujours négatif · on divise les distances à zéro.
Exemples
(+ 10) ÷ (− 2) = − 5 signes contraires → − · distances : 10 ÷ 2 = 5
(− 10) ÷ (+ 2) = − 5 signes contraires → − · distances : 10 ÷ 2 = 5
À retenir :
· Le quotient de deux nombres de même signe est POSITIF.
· Le quotient de deux nombres de signes contraires est NÉGATIF.
Avec la notation fraction
Exemples
−186 = − 3 signes contraires → − · 18 ÷ 6 = 3
−20−5 = + 4 même signe → + · 20 ÷ 5 = 4
−3 × 8−6 = −24−6 = + 4 on calcule le numérateur d'abord, puis même signe → +
📏 Priorités opératoires
L'ordre de calcul est toujours :
1) Calculs dans les parenthèses (de l'intérieur vers l'extérieur)
2) Multiplications et divisions (de gauche à droite)
3) Additions et soustractions (de gauche à droite)
Exemple 1 - multiplication, division, addition, soustraction
3 × (−4) + 6 ÷ (−2) − (−5)
= 3 × (−4) + 6 ÷ (−2) + 5   (soustraire −5 = ajouter +5)
= −12 + (−3) + 5   (× et ÷ en premier)
= −10
Exemple 2 - parenthèses dans des parenthèses & les 4 opérations
(−2) × [(+5) + (−3 × (−4))] ÷ (−7 − (−3))
= (−2) × [(+5) + (+12)] ÷ (−7 + 3) (parenthèses intérieures)
= (−2) × (+17) ÷ (−4) (parenthèses extérieures)
= (−34) ÷ (−4) (multiplication)
= + 8,5 (division, même signe → +)
Théorème de Pythagore et sa réciproque
Chapitre 2 · 5 exercices
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📐 Triangle rectangle
📏 Théorème de Pythagore
√ La racine carrée
🔄 Réciproque de Pythagore
📐 Triangle rectangle - vocabulaire
Définition
Un triangle rectangle possède un angle droit (90°).
Le côté opposé à l'angle droit est l'hypoténuse : c'est toujours le plus grand côté.
Les deux autres côtés sont les côtés de l'angle droit.
Triangle rectangle en B
● L'angle droit est en B ● AC est l'hypoténuse (en face de l'angle droit) ● AB et BC sont les côtés de l'angle droit
📏 Théorème de Pythagore
Théorème
Si un triangle est rectangle en B, alors :
AC2 = AB2 + BC2
Le carré de l'hypoténuse est égal à la somme des carrés des deux autres côtés.
Triangle rectangle en B
Exemple - calculer l'hypoténuse
Triangle ABC rectangle en B avec AB = 3 cm et BC = 4 cm. Calculer AC.
AC2 = AB2 + BC2
AC2 = 32 + 42
AC2 = 9 + 16 = 25
AC = 5 cm (car 5² = 25 et AC > 0)
Exemple - calculer un côté de l'angle droit
Triangle ABC rectangle en B avec AC = 13 cm et AB = 5 cm. Calculer BC.
AC2 = AB2 + BC2
132 = 52 + BC2
169 = 25 + BC2
BC2 = 169 − 25 = 144
BC = 12 cm
√ La racine carrée
Tableau des carrés à connaître
Nombre 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Carré 1 4 9 16 25 36 49 64 81 100
Définition
La racine carrée d'un nombre a positif ou nul est le nombre positif ou nul dont le carré est a.
On la note : √a
Exemples - racines carrées exactes
√25 = 5 (car 5² = 25) √49 = 7 (car 7² = 49) √36 = 6 (car 6² = 36) √64 = 8 (car 8² = 64)
Encadrement entre deux entiers consécutifs
Si √a n'est pas entier, on cherche deux entiers consécutifs n et n+1 tels que :
n² < a < (n+1)²  alors  n < √a < n+1
Exemples d'encadrement
9 < 10 < 16 donc 3² < 10 < 4² donc 3 < √10 < 4
25 < 30 < 36 donc 5² < 30 < 6² donc 5 < √30 < 6
49 < 50 < 64 donc 7² < 50 < 8² donc 7 < √50 < 8
Lien avec Pythagore : quand on trouve AC² = 20, la longueur AC = √20 n'est pas entière. On peut l'encadrer : 4 < √20 < 5 (car 16 < 20 < 25), ou donner une valeur approchée à la calculatrice.
🔄 Réciproque du théorème de Pythagore
Réciproque
Si dans un triangle ABC on a :
AC2 = AB2 + BC2
alors le triangle ABC est rectangle en B.
Triangle ABC (angle inconnu)
⚠ Méthode - calculs séparés obligatoires
1. Identifier le plus grand côté (candidat hypoténuse).
2. Calculer son carré séparément.
3. Calculer la somme des carrés des deux autres côtés séparément.
4. Comparer les deux résultats.
Exemple 1 - Le triangle DEF est-il rectangle ? (DE = 5 cm, EF = 12 cm, DF = 13 cm)
Le plus grand côté est DF = 13 cm. Si le triangle est rectangle, l'angle droit est en E (en face de DF).
Grand côté au carré
DF2 = 132 = 169
Somme des deux autres carrés
DE2 + EF2 = 52 + 122 = 25 + 144 = 169
DF2 = DE2 + EF2 ✓ → Le triangle DEF est rectangle en E.
Exemple 2 - Le triangle PQR est-il rectangle ? (PQ = 4 cm, QR = 5 cm, PR = 7 cm)
Le plus grand côté est PR = 7 cm. Si le triangle est rectangle, l'angle droit serait en Q (en face de PR).
Grand côté au carré
PR2 = 72 = 49
Somme des deux autres carrés
PQ2 + QR2 = 42 + 52 = 16 + 25 = 41
PR2 ≠ PQ2 + QR2 → Le triangle PQR n'est pas rectangle.
Arithmétique et nombres premiers
Chapitre 3 · 5 exercices
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ℕ Les entiers naturels
÷ Division euclidienne
✓ Diviseurs et multiples
★ Nombres premiers
📋 Décomposition en facteurs premiers
ℕ Les entiers naturels
Dans tout ce chapitre, on ne travaille qu'avec des entiers naturels.

Les entiers naturels sont les nombres entiers positifs ou nuls :
0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, …

Ils se notent avec la lettre ℕ (N pour Naturels).
Attention : les nombres négatifs (−1, −2, …) et les fractions (½, ¾…) ne sont pas des entiers naturels.
÷ La division euclidienne
Définition
Effectuer la division euclidienne de a par b, c'est trouver deux entiers naturels q et r tels que :
a = b × q + r   et   r < b
q est le quotient (entier) et r est le reste (entier) de cette division.
Division posée : 147 ÷ 5
Vérification
147 = 5 × 29 + 2  et 2 < 5 ✓
Dividende = Diviseur × Quotient + Reste
Cas particulier : si le reste r = 0, on dit que la division est exacte et que a est divisible par b.
✓ Diviseurs et multiples
Définition : on dit que a est divisible par b si la division euclidienne de a par b a un reste nul (r = 0).

On dit alors que :
· b est un diviseur de a
· a est un multiple de b
Exemples
24 ÷ 6 : 24 = 6 × 4 + 0  →  reste = 0  →  24 est divisible par 6  ·  6 est un diviseur de 24  ·  24 est un multiple de 6.
24 ÷ 7 : 24 = 7 × 3 + 3  →  reste = 3 ≠ 0  →  24 n'est pas divisible par 7.
⚠ Critères de divisibilité à connaître
par 2le dernier chiffre est 0, 2, 4, 6 ou 8 (nombre pair) par 3la somme des chiffres est divisible par 3 par 4les deux derniers chiffres forment un nombre divisible par 4 par 5le dernier chiffre est 0 ou 5 par 9la somme des chiffres est divisible par 9 par 10le dernier chiffre est 0
Exemple - critères appliqués à 252
Dernier chiffre : 2  →  divisible par 2
Somme des chiffres : 2 + 5 + 2 = 9  →  divisible par 3 et par 9
Deux derniers chiffres : 52 = 4 × 13  →  divisible par 4
★ Nombres premiers
Définition : un nombre premier est un entier naturel supérieur à 1 qui n'a exactement que deux diviseurs : 1 et lui-même.

Attention : 1 n'est pas un nombre premier (il n'a qu'un seul diviseur).
Nombres premiers jusqu'à 100 - à connaître
■ Nombre premier ■ Nombre composé ■ 1 (ni premier ni composé)
Comment tester si un nombre n est premier ?
On teste la divisibilité euclidienne de n par tous les nombres premiers inférieurs ou égaux à √n. Si aucun ne le divise (reste nul), alors n est premier.
Exemple - 37 est-il premier ?
√37 ≈ 6,08  →  on teste les divisions euclidiennes par 2, 3, 5.
37 = 2 × 18 + 1 avec 1 < 2  ·  37 = 3 × 12 + 1 avec 1 < 3  ·  37 = 5 × 7 + 2 avec 2 < 5
Aucun reste n'est nul  →  37 est premier.
📋 Décomposition en facteurs premiers
Propriété (admise) : tout entier naturel supérieur à 1 peut s'écrire de façon unique comme un produit de facteurs premiers. C'est la décomposition en facteurs premiers.
Méthode - tableau de divisions successives : on divise le nombre par le plus petit facteur premier dont le reste est nul, puis on recommence avec le quotient, jusqu'à obtenir 1.
Exemple - décomposition de 360
360 = 23 × 32 × 5
Les 4 opérations avec les nombres rationnels
Chapitre 4 · 5 exercices
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ℚ Les nombres rationnels
+/− Addition et soustraction
× Multiplication
÷ Division
📐 Priorités opératoires
ℚ Les nombres rationnels
Définition d'un nombre rationnel :
a et b désignent deux nombres entiers relatifs avec b ≠ 0.

Le quotient de a par b est le nombre qui, multiplié par b, donne a. Ainsi :
ab × b = a
Ce quotient, noté a : b ou ab, est un nombre rationnel.
Vocabulaire
ND = N : D
N est le numérateur (aussi le dividende)
D est le dénominateur (aussi le diviseur)
Les trois formes d'un nombre rationnel - un même nombre rationnel peut s'écrire de trois façons :
1) Nombre entier - lorsque le dénominateur divise le numérateur.
7 = 71 = 142   ·   −3 = −31 = −124
2) Nombre décimal - lorsque le nombre rationnel est égal à une fraction décimale (dénominateur 10, 100, 1000…).
34 = 75100 = 0,75   ·   −52 = −5010 = −2,5   ·   14 = 25100 = 0,25
3) Nombre rationnel non décimal (fraction pure) - lorsque la division ne s'arrête jamais (écriture décimale infinie).
13 = 0,333…   ·   27 = 0,285714…   ·   56 = 0,8333…
À retenir : les nombres rationnels se notent ℚ (Q pour Quotient). Tous les entiers et tous les décimaux sont des nombres rationnels, mais l'inverse n'est pas vrai : par exemple 13 est rationnel mais n'est ni entier ni décimal.
+/− Addition et soustraction
Cas 1 - Même dénominateur
Règle - même dénominateur
On garde le même dénominateur et on additionne (ou soustrait) les numérateurs.
ab + cb = a + cb   ·   ab − cb = a − cb
Exemples
37 + 27 = 57
115 − 45 = 75
Cas 2 - Dénominateurs différents
Règle - dénominateurs différents
On réduit les fractions au même dénominateur (dénominateur commun), puis on applique la règle du cas 1.
Exemple
14 + 16
Le plus petit dénominateur commun de 4 et 6 est 12.
= 1 × 34 × 3 + 1 × 26 × 2 = 312 + 212 = 512
Exemple avec soustraction
56 − 14 = 1012 − 312 = 712
Astuce : si on ne trouve pas le plus petit dénominateur commun facilement, on peut toujours prendre le produit des deux dénominateurs comme dénominateur commun.
× Multiplication
Règle - multiplication de fractions
On multiplie les numérateurs entre eux et les dénominateurs entre eux.
ab × cd = a × cb × d
Exemples
34 × 25 = 3 × 24 × 5 = 620 = 310
−23 × 94 = −2 × 93 × 4 = −1812 = −32
Simplification avant de calculer : on peut simplifier en divisant un numérateur et un dénominateur par un même diviseur, avant de multiplier. Cela évite d'obtenir de grands nombres.
Exemple - simplifier en décomposant en facteurs communs
On décompose les numérateurs et les dénominateurs en produits de facteurs, en faisant apparaître les facteurs communs.
89 × 34 = 2 × 43 × 3 × 34
= 2 × 4 × 33 × 3 × 4 (on regroupe en un seul produit)
= 23 (le facteur 4 et le facteur 3 sont communs au numérateur et au dénominateur : on les supprime)
÷ Division
Définition - l'inverse
a, b et c désignent des nombres décimaux avec a ≠ 0 et b ≠ 0 :
l'inverse de a est : 1a l'inverse de bc est : cb
Propriété : deux nombres sont inverses l'un de l'autre si leur produit est égal à 1.
Exemples
5 × 15 = 1  →  5 et 15 sont inverses.
23 × 32 = 1  →  23 et 32 sont inverses.
Règle de la division
Diviser par une fraction, c'est multiplier par son inverse :
ab ÷ cd = ab × dc = a × db × c
Exemples
34 ÷ 25 = 34 × 52 = 158
56 ÷ 103 = 56 × 310 = 1560 = 14
📐 Priorités opératoires et expressions mixtes
Les règles de priorité sont les mêmes qu'avec les entiers :
1) Calculs entre parenthèses  ·  2) Multiplications et divisions  ·  3) Additions et soustractions
⚠ Entier × fraction : un entier peut être vu comme une fraction de dénominateur 1.  3 × 25 = 31 × 25 = 65
Exemple complet
23 × 34 + 16 ÷ 23
= 612 + 16 × 32 (× et ÷ en premier)
= 12 + 312 (simplification)
= 612 + 312 (dénominateur commun 12)
= 912 = 34
Exemple - parenthèses dans des parenthèses & les 4 opérations
[ 12 + ( 23 × 34 ) ] ÷ ( 56 − 13 )
= [ 12 + 612 ] ÷ ( 56 − 26 ) (parenthèses intérieures : × et même dénominateur)
= [ 612 + 612 ] ÷ 36 (dénominateur commun 12, et 56 − 26 = 36)
= 1212 ÷ 36 = 1212 × 63 (diviser revient à multiplier par l'inverse)
= 7236 = 21 = 2
Puissances et calcul numérique
Chapitre 5 · 5 exercices
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aⁿ Définition d'une puissance
± Puissances négatives
≡ Propriétés des puissances
a⁰ Exposants 0, 1 et négatifs
10ⁿ Puissances de 10
×10 Écriture scientifique
an Définition d'une puissance
Pour tout nombre a et tout entier n ≥ 1, la puissance an (qui se lit « a exposant n » ou « a puissance n ») est le produit de n facteurs égaux à a :
an = a × a × … × a  (n facteurs)
a est appelé la base et n l'exposant.
Exemples
34 = 3 × 3 × 3 × 3 = 81
25 = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 = 32
103 = 10 × 10 × 10 = 1 000
⚠ Carré et cube : a2 se lit « a au carré » et a3 se lit « a au cube ».
a2 = a × a   ·   a3 = a × a × a
± Puissances d'un nombre négatif
Le signe de an dépend de la parité de l'exposant n lorsque a est négatif.
Exemples avec a = −2
(−2)2 = (−2) × (−2) = +4  (exposant pair → résultat positif)
(−2)3 = (−2) × (−2) × (−2) = −8  (exposant impair → résultat négatif)
(−2)4 = (−2) × (−2) × (−2) × (−2) = +16  (exposant pair → résultat positif)
⚠ Attention aux parenthèses ! (−2)2 ≠ −22
(−2)2 = (−2) × (−2) = +4   ·   −22 = −(2 × 2) = −4
≡ Propriétés des puissances
Ces propriétés sont valables pour tout nombre non nul a, b et tous entiers n, m.
Produit de puissances
an × am = an+m
Quotient de puissances
anam = an−m
Puissance d'une puissance
(an)m = an×m
Puissance d'un produit
(a × b)n = an × bn
Exemples
34 × 32 = 34+2 = 36 = 729
107103 = 107−3 = 104 = 10 000
(102)3 = 102×3 = 106 = 1 000 000
(2 × 5)3 = 23 × 53 = 8 × 125 = 1 000
a0 Exposants 0, 1 et négatifs
Définition - exposant négatif
Pour tout nombre a non nul et tout entier n ≥ 1 :
a−n = 1an
Cas particuliers (a non nul)
a0 = 1
a1 = a
a−1 = 1a
Exemple - 2−3
2−3 = 123 = 18
À retenir : les propriétés des puissances (produit, quotient, puissance d'une puissance) restent valables avec des exposants négatifs.
Exemple : 52 × 5−4 = 52+(−4) = 5−2 = 125
10n Puissances de 10
Les puissances de 10 permettent d'écrire facilement les très grands et les très petits nombres.
Tableau des puissances de 10
Puissance 103 102 101 100 10−1 10−2 10−3
Valeur 1 000 100 10 1 0,1 0,01 0,001
10n s'écrit 1 suivi de n zéros  ·  10−n s'écrit 0,00…01 avec (n − 1) zéros après la virgule
×10 Écriture scientifique
Définition - écriture scientifique
L'écriture scientifique d'un nombre est de la forme :
a × 10n
où a est un nombre décimal tel que 1 ≤ a < 10 (un seul chiffre non nul avant la virgule), et n est un entier relatif.
Grands nombres → exposant positif
3 789 000 = 3,789 × 1 000 000 = 3,789 × 106
Petits nombres → exposant négatif
0,000 000 37 = 3,7 × 0,000 000 1 = 3,7 × 10−7
Méthode : on compte combien de fois on déplace la virgule pour obtenir un nombre a compris entre 1 et 10.
On la déplace vers la gauche → exposant positif  ·  On la déplace vers la droite → exposant négatif
Proportionnalité
Chapitre 6 · 5 exercices
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k Proportionnalité
□ Représentation graphique
? Reconnaître une situation
× Produit en croix
% Pourcentages
v Vitesse moyenne
▭ Échelle
k Tableau de proportionnalité
Deux grandeurs sont proportionnelles si on passe des valeurs de la première grandeur aux valeurs de la deuxième en multipliant toujours par le même nombre.

Ce nombre est appelé le coefficient de proportionnalité.
Exemple - Prix de pommes selon la masse
Masse (kg) 2 3 5
Prix (€) 3 4,5 7,5
On passe de la masse au prix en multipliant par 1,5 (2 × 1,5 = 3  ·  3 × 1,5 = 4,5  ·  5 × 1,5 = 7,5).
Le coefficient de proportionnalité est donc 1,5.
▤ Représentation graphique
Propriété
Sur un graphique, une situation de proportionnalité est représentée par une droite (ou demi-droite) qui passe par l'origine du repère.
Exemple - Prix en fonction du nombre de tickets
Tickets (A) 2 3 4 5 8
Prix en € (B) 4 6 8 10 16
0 2 4 8 Tickets 0 4 8 16 Prix (€) O
Tous les points sont alignés avec l'origine O du repère : la droite passe par O. C'est bien une situation de proportionnalité, de coefficient 2 (4 ÷ 2 = 2, 6 ÷ 3 = 2, etc.).
⚠ Attention : si la droite ne passe pas par l'origine, ce n'est pas une situation de proportionnalité.
? Reconnaître une situation de proportionnalité
Pour vérifier si un tableau est un tableau de proportionnalité, on calcule le quotient de chaque valeur de la deuxième ligne par la valeur correspondante de la première ligne.

Si tous les quotients sont égaux, le tableau est un tableau de proportionnalité, et ce quotient commun est le coefficient de proportionnalité.
Exemple - ce tableau est-il un tableau de proportionnalité ?
Nombre d'articles 4 6 10
Prix (€) 12 18 29
124 = 3 · 186 = 3 · 2910 = 2,9
Les deux premiers quotients valent 3, mais le troisième vaut 2,9. Les quotients ne sont pas tous égaux : ce n'est pas un tableau de proportionnalité.
× Produit en croix
Propriété - produit en croix
Dans un tableau de proportionnalité à deux lignes, si l'une des quatre valeurs est inconnue, on peut la calculer grâce à l'égalité des produits en croix :
ab = cd   donc   a × d = b × c
Exemple - calculer une valeur manquante
Masse (kg) 4 7
Prix (€) 6 x
46 = 7x donc 4 × x = 6 × 7 donc x = 6 × 74 = 424 = 10,5
7 kg de pommes coûtent 10,5 €.
% Pourcentages
Calculer t % d'une quantité, c'est appliquer un coefficient de proportionnalité de t100, c'est-à-dire multiplier par t100.
Exemple - 30 % de 80 €
30 % de 80 = 30100 × 80 = 0,30 × 80 = 24 €
Tableau des coefficients multiplicateurs
Prendre t % de x Augmenter x de t % Diminuer x de t %
Calcul t100 × x x + t100 × x x − t100 × x
Coefficient t100 1 + t100 1 − t100
Exemple t = 8 × 0,08 × 1,08 × 0,92
⚠ Attention : deux baisses successives de t % ne correspondent pas à une baisse de 2t %.
Exemple : baisser de 10 % deux fois de suite, c'est multiplier par 0,90 × 0,90 = 0,81, soit une baisse de 19 % (et non 20 %).
v Vitesse moyenne
Définition - vitesse moyenne
La vitesse moyenne est le quotient de la distance parcourue par la durée du trajet :
v = dt
où d est la distance, t la durée et v la vitesse.
Exemple
Un train parcourt 240 km en 2 heures.
v = dt = 2402 = 120 km/h
Formules dérivées : d = v × t  ·  t = dv
□ Échelle d'un plan ou d'une carte
Définition - échelle
L'échelle d'un plan est le coefficient de proportionnalité qui permet de passer d'une longueur réelle à la longueur sur le plan (dans la même unité) :
échelle = longueur sur le planlongueur réelle
Exemple - échelle 1 : 25 000
Sur une carte à l'échelle 125 000, 1 cm sur la carte représente 25 000 cm dans la réalité, soit 250 m.

Une distance de 6 cm sur la carte correspond donc à une distance réelle de :
6 × 25 000 = 150 000 cm = 1 500 m = 1,5 km
Théorème de Thalès et réciproque
Chapitre 7 · 5 exercices
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▲ Configuration de Thalès
∥ Théorème de Thalès
✏ Calculer une longueur
↔ Réciproque de Thalès
△ Configuration de Thalès
On considère deux droites (AB) et (AC) sécantes en A.
Soit M un point de la droite (AB) et N un point de la droite (AC), tels que les droites (MN) et (BC) soient parallèles.
Configuration emboîtée
A B C M N
M est sur le segment [AB], N est sur le segment [AC], et le segment [MN] est parallèle au segment [BC].
Le triangle AMN est emboîté dans le triangle ABC.
∥ Théorème de Thalès
Théorème - Thalès
Si les droites (AB) et (AC) sont sécantes en A, si M appartient à (AB), si N appartient à (AC), et si les droites (MN) et (BC) sont parallèles, alors :
AMAB = ANAC = MNBC
Le théorème de Thalès permet de calculer une longueur dans une configuration de triangles emboîtés, lorsqu'on connaît trois des quatre longueurs apparaissant dans ces égalités.
✎ Méthode - Calculer une longueur
Pour appliquer le théorème de Thalès, on rédige toujours dans cet ordre :
1. Vérifier les hypothèses
• Les droites (AB) et (AC) sont sécantes en A.
• M appartient à (AB), N appartient à (AC).
• Les droites (MN) et (BC) sont parallèles (donnée de l'énoncé).
2. Écrire les rapports égaux et calculer
A B C M N
Données : AM = 3 cm, AB = 5 cm, AC = 7 cm. (MN) parallèle à (BC). Calculer AN.
Les droites (AB) et (AC) sont sécantes en A, M appartient à (AB), N appartient à (AC), et (MN) est parallèle à (BC).
D'après le théorème de Thalès :
AMAB = ANAC donc 35 = AN7
On utilise le produit en croix :
AN = 3 × 75 = 215 = 4,2 cm
↔ Réciproque du théorème de Thalès
Réciproque - Thalès
Si M appartient à (AB), si N appartient à (AC), et si :
AMAB = ANAC
et si A, M, B d'une part et A, N, C d'autre part sont alignés dans le même ordre,
alors les droites (MN) et (BC) sont parallèles.
⚠ Important : la réciproque permet de démontrer un parallélisme, alors que le théorème direct permet de calculer une longueur en supposant le parallélisme connu. Ne pas confondre les deux usages !
Méthode - Utiliser la réciproque
Données : A, M, B alignés dans cet ordre et A, N, C alignés dans cet ordre, avec AM = 2 cm, AB = 5 cm, AN = 3 cm, AC = 7,5 cm. Les droites (MN) et (BC) sont-elles parallèles ?
On calcule séparément les deux rapports :
AMAB = 25   et   ANAC = 37,5 = 25
Les points A, M, B sont alignés dans cet ordre, les points A, N, C sont alignés dans cet ordre, et les rapports sont égaux.
D'après la réciproque du théorème de Thalès, les droites (MN) et (BC) sont parallèles.
Calcul littéral
Chapitre 8 · 5 exercices
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x Expressions littérales
▷ Développer
▽ Factoriser
? Tester une égalité
x Expressions littérales
Une expression littérale est une expression mathématique dans laquelle apparaît au moins une lettre (souvent notée x), qui représente un nombre.
Sommes et produits
Soit a et b deux nombres.
• Une expression du type a + b est une somme dont a et b sont les termes.
• Une expression du type a − b est une différence dont a et b sont les termes.
• Une expression du type a × b est un produit dont a et b sont les facteurs.
a − b = a + (−b)
Exemples
5x + 2 est une somme dont les termes sont 5x et 2.
3(x + 4) est un produit dont les facteurs sont 3 et (x + 4).
Règle des signes
Soit x et y deux nombres.
(−x) × y = x × (−y) = −xy (−x) × (−y) = x × y = xy
Exemples
(−1) × x = −1 × x = −x
3 × (−x) = −3 × x = −3x
(−x) × (−5) = x × 5 = 5x
Réduire une expression
Réduire une expression, c'est regrouper les termes de même nature (ceux qui contiennent la même lettre avec le même exposant, ou les termes sans lettre).
5x + 3 − 2x + 7 = 3x + 10
▷ Développer une expression
Développer une expression, c'est transformer un produit en une somme. On utilise la distributivité de la multiplication sur l'addition et la soustraction.
Distributivité simple
Pour tous nombres k, a et b :
k(a + b) = ka + kb k(a − b) = ka − kb
Exemple - distributivité simple
5(2x + 3) = 5 × 2x + 5 × 3 = 10x + 15
▿ Factoriser une expression
Factoriser une expression, c'est transformer une somme en un produit. On repère un facteur commun : un facteur identique qui apparaît dans tous les termes de la somme.
Exemple - facteur commun simple
x2 + 2x = x × x + x × 2 = x(x + 2)
Exemple - facteur commun « bloc »
(x + 1)(2x + 5) − (x + 1)(3x − 4)
= (x + 1) × [(2x + 5) − (3x − 4)] = (x + 1)(−x + 9)
Le facteur commun est le bloc (x + 1), qui apparaît dans les deux termes.
? Tester une égalité
Pour tester si une égalité est vraie pour une valeur de x, on remplace x par cette valeur dans chaque membre de l'égalité, puis on calcule séparément les deux résultats.
Exemple - l'égalité 2(x + 3) = 2x + 6 est-elle vraie pour x = 4 ?
On calcule séparément chaque membre pour x = 4 :
2(x + 3) = 2 × (4 + 3) = 2 × 7 = 14
2x + 6 = 2 × 4 + 6 = 8 + 6 = 14
Les deux membres sont égaux à 14 : l'égalité est vraie pour x = 4. (Elle est en fait vraie pour toutes les valeurs de x, car 2(x + 3) et 2x + 6 sont deux écritures de la même expression.)
⚠ Attention : une égalité peut être vraie pour certaines valeurs de x seulement (c'est alors une équation), ou pour toutes les valeurs de x (c'est alors une identité, comme dans l'exemple ci-dessus).
Probabilités
Chapitre 9 · 5 exercices
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🎲 Vocabulaire
P Probabilité d'un événement
🎲 Vocabulaire
Une expérience aléatoire est une expérience dont on connaît tous les résultats possibles, appelés issues, sans pouvoir prévoir lequel va se produire.
Vocabulaire
• Un événement est un ensemble d'issues.
• Un événement est élémentaire quand il correspond à une seule issue.
• L'événement contraire d'un événement A, noté A (lire « A barre »), est réalisé chaque fois que A n'est pas réalisé.
• Deux événements sont incompatibles s'ils n'ont aucune issue en commun (ils ne peuvent pas se produire en même temps).
Exemple - dé à 6 faces
On lance un dé équilibré à 6 faces numérotées de 1 à 6.
Cette expérience a 6 issues : 1, 2, 3, 4, 5, 6.

Événement A : « obtenir un nombre pair » → issues : 2, 4, 6.
Événement contraire A : « obtenir un nombre impair » → issues : 1, 3, 5.

Événement B : « obtenir un multiple de 3 » → issues : 3, 6.
Événement C : « obtenir 1 ou 2 » → issues : 1, 2.
B et C sont incompatibles : ils n'ont aucune issue en commun.
P Probabilité d'un événement
Définition - situation d'équiprobabilité
Quand toutes les issues d'une expérience ont la même probabilité de se produire, on dit qu'on est en situation d'équiprobabilité. Dans ce cas, la probabilité d'un événement A se calcule ainsi :
P(A) = nombre d'issues favorables à Anombre d'issues possibles
Propriétés
• Une probabilité est toujours comprise entre 0 et 1.
• La somme des probabilités de toutes les issues d'une expérience est égale à 1.
• P(A) = 1 − P(A)
• Si A et B sont incompatibles, alors P(A ou B) = P(A) + P(B).
Exemple - dé à 6 faces équilibré
Chaque face a la même probabilité : 16.

P(« obtenir un nombre pair ») = 36 = 0,5

P(« obtenir un nombre impair ») = 1 − P(« nombre pair ») = 1 − 12 = 0,5
Trigonométrie
Chapitre 10 · 5 exercices
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▲ Triangle rectangle
cos Cosinus d'un angle
✏ Calculer une longueur
∠ Calculer un angle
△ Triangle rectangle : vocabulaire
La trigonométrie étudie les relations entre les longueurs des côtés d'un triangle rectangle et ses angles aigus.
Triangle ABC rectangle en B
α A B C
Le triangle ABC est rectangle en B. On choisit l'angle α = B∧AC (l'angle au sommet A).

• Le côté [AC], en face de l'angle droit, est l'hypoténuse. C'est toujours le plus long côté du triangle rectangle.
• Le côté [AB], qui forme l'angle α avec l'hypoténuse, est le côté adjacent à l'angle α.
cos Cosinus d'un angle aigu
Définition
Dans un triangle rectangle, pour un angle aigu α :
cos α = côté adjacent à αhypoténuse
Triangle ABC rectangle en B
α A B C
cos B∧AC = ABAC
Le cosinus d'un angle aigu est toujours un nombre compris entre 0 et 1, car le côté adjacent est toujours plus court que l'hypoténuse.
✏ Méthode - Calculer une longueur
Lorsqu'on connaît un angle aigu et un côté (l'hypoténuse ou le côté adjacent), on peut calculer l'autre côté grâce au cosinus.
Exemple - Triangle ABC rectangle en B, calculer AB
35° A B C
Données : AC = 8 cm (hypoténuse), B∧AC = 35°
Côté cherché : AB (adjacent à B∧AC)
cos B∧AC = ABAC donc cos 35° = AB8
AB = 8 × cos 35° ≈ 6,55 cm
∠ Méthode - Calculer un angle
Lorsqu'on connaît l'hypoténuse et le côté adjacent à un angle aigu, on peut calculer cet angle grâce à la fonction arccos (« cosinus réciproque »), disponible sur la calculatrice.
Exemple - Triangle ABC rectangle en B, calculer l'angle B∧AC
? A B C
Données : AC = 4,5 cm (hypoténuse), AB = 3 cm (adjacent à B∧AC)
cos B∧AC = ABAC = 34,5
B∧AC = arccos34,5 ≈ 48,2°
Équations
Chapitre 11 · 5 exercices
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1° Équation du premier degré
P Propriétés
= Résoudre une équation
1° Équation du premier degré
Une équation du premier degré à une inconnue est une égalité de la forme ax + b = cx + d, où a, b, c, d sont des nombres connus avec a ≠ c, et x une valeur inconnue à trouver.
P Propriétés
On obtient une nouvelle équation qui a la même solution que l'équation initiale :

1. Quand on additionne ou on soustrait un même nombre aux deux membres de l'équation.
Exemple
x − 3 = 5 x − 3 + 3 = 5 + 3 (on ajoute 3 aux deux membres) x = 8
2. Quand on multiplie ou on divise par un même nombre non nul les deux membres de l'équation.
Exemple
3x = 12 3x ÷ 3 = 12 ÷ 3 (on divise les deux membres par 3) x = 4
= Résoudre une équation
Résoudre une équation, c'est trouver toutes les valeurs de l'inconnue pour lesquelles l'égalité est vérifiée. Ces valeurs s'appellent les solutions de l'équation.

Pour cela, on regroupe les termes avec x dans le membre de gauche, les termes constants dans le membre de droite, puis on divise par le coefficient de x.
Exemple 1 - équation simple
5x + 2 = 3x − 4 5x − 3x + 2 = 3x − 3x − 4 (on regroupe les x) 2x + 2 = −4 2x + 2 − 2 = −4 − 2 (on isole x) 2x = −6 x = −62 donc x = −3
Exemple 2 - solution fractionnaire
6x − 5 = 2 6x = 2 + 5 = 7 x = 76 donc x = 76