Révisions 3ème - Mathématiques

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la 2nde

Fiches de cours + exercices corrigés - Mathématiques 3ème

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Conçu par Philippe Auria · Collège Fernand Donatien · Fort-de-France
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➕ Addition et soustraction

× Multiplication de fractions

÷ Division de fractions

✓ Fraction irréductible

+ Addition et soustraction

Pour additionner ou soustraire deux fractions, on doit d'abord les réduire au même dénominateur. On écrit chaque fraction avec ce dénominateur commun en multipliant numérateur et dénominateur par le même nombre. On additionne ou soustrait ensuite les numérateurs.

Formules

ac + bc = a + bc

ac − bc = a − bc

Exemple - réduction au même dénominateur

13 + 14 = 1 × 43 × 4 + 1 × 34 × 3 = 412 + 312 = 712

× Multiplication de fractions

On décompose numérateurs et dénominateurs en produit de facteurs pour simplifier, puis on multiplie numérateur par numérateur et dénominateur par dénominateur.

ab × cd = a × cb × d

Exemple - simplification par les facteurs communs

23 × 910 = 2 × 93 × 10 = 2 × 3 × 33 × 2 × 5 = 35

On simplifie par 2 puis par 3 (facteurs communs au numérateur et au dénominateur)

÷ Division de fractions

Pour diviser par une fraction, on multiplie par son inverse : on retourne la fraction diviseur.

ab cd = ab ÷ cd = ab × dc

Rappel : l'inverse de ab est ba · l'inverse de a (non nul) est 1a

Exemple

34 ÷ 57 = 34 × 75 = 3 × 74 × 5 = 2120

✓ Fraction irréductible

Une fraction est irréductible quand numérateur et dénominateur n'ont aucun diviseur commun autre que 1. Pour simplifier, on divise numérateur et dénominateur par le même facteur commun.

Exemple de simplification

1218 = 2 × 63 × 6 = 23

Le 6 est un facteur commun. 2 et 3 n'ont plus de diviseur commun → la fraction est irréductible.

Exercice 1

Calculer et donner le résultat sous la forme d'une fraction irréductible.

A =−57+421

B =512−38

C =23×18

D =−79÷6−14

E =215+185×354

✓ Correction

A

A = −57 + 421 = −5 × 37 × 3 + 421 = −1521 + 421 = −15 + 421 = −1121

B

B = 512 − 38 = 5 × 212 × 2 − 3 × 38 × 3 = 1024 − 924 = 10 − 924 = 124

C

C = 23 × 18 = 2 × 13 × 8 = 224 = 112

D

D = −79 ÷ 6−14 = −79 × −146 = (−7) × (−14)9 × 6 = 7 × 2 × 73 × 3 × 2 × 3 = 4927

E - la multiplication est prioritaire sur l'addition

E = 215 + 185 × 354 = 215 + 18 × 355 × 4 = 215 + 2 × 3 × 3 × 5 × 75 × 2 × 2 = 215 + 632 = 2 × 215 × 2 + 63 × 152 × 15 = 430 + 94530 = 94930

Exercice 2

Calculer et simplifier le résultat.

A =34+16

B =710−25

C =56×415

D =89÷43

✓ Correction

A

A = 34 + 16 = 3 × 34 × 3 + 1 × 26 × 2 = 912 + 212 = 9 + 212 = 1112

B

B = 710 − 25 = 710 − 2 × 25 × 2 = 710 − 410 = 7 − 410 = 310

C

C = 56 × 415 = 5 × 46 × 15 = 5 × 2 × 22 × 3 × 3 × 5 = 29

D

D = 89 ÷ 43 = 89 × 34 = 2 × 4 × 33 × 3 × 4 = 23

Exercice 3

Calculer et donner le résultat sous la forme d'une fraction irréductible.

A =56+14−13

B =3+25−710

C =34×89×32

D =1415÷76

✓ Correction

A

A = 56 + 14 − 13 = 5 × 26 × 2 + 1 × 34 × 3 − 1 × 43 × 4 = 1012 + 312 − 412 = 10 + 3 − 412 = 912 = 34

B

B = 3 + 25 − 710 = 3 × 1010 + 2 × 25 × 2 − 710 = 3010 + 410 − 710 = 30 + 4 − 710 = 2710

C

C = 34 × 89 × 32 = 3 × 8 × 34 × 9 × 2 = 3 × 2 × 2 × 2 × 32 × 2 × 3 × 3 × 2 = 1

D

D = 1415 ÷ 76 = 1415 × 67 = 14 × 615 × 7 = 2 × 7 × 2 × 33 × 5 × 7 = 45

Exercice 4

Calculer en respectant les priorités opératoires. Donner le résultat sous la forme d'une fraction irréductible.

A =34+12×23

B =(12+13)×65

C =78−34÷92

✓ Correction

A - la multiplication est prioritaire sur l'addition

A = 34 + 1 × 22 × 3 = 34 + 13 = 3 × 34 × 3 + 1 × 43 × 4 = 912 + 412 = 1312

B - les parenthèses sont prioritaires

B = ( 1 × 32 × 3 + 1 × 23 × 2 ) × 65 = 56 × 65 = 5 × 66 × 5 = 1

C - la division est prioritaire sur la soustraction

C = 78 − 34 × 29 = 78 − 3 × 24 × 9 = 78 − 16 = 7 × 38 × 3 − 1 × 46 × 4 = 2124 − 424 = 1724

Exercice 5

Calculer et simplifier. On décomposera en produit de facteurs.

A =3512×1849

B =2615÷1345

C =116−54+112

✓ Correction

A

A = 3512 × 1849 = 35 × 1812 × 49 = 5 × 7 × 2 × 3 × 32 × 2 × 3 × 7 × 7 = 1514

B

B = 2615 ÷ 1345 = 2615 × 4513 = 26 × 4515 × 13 = 2 × 13 × 3 × 3 × 53 × 5 × 13 = 6

C

C = 116 − 54 + 112 = 11 × 26 × 2 − 5 × 34 × 3 + 112 = 2212 − 1512 + 112 = 22 − 15 + 112 = 812 = 23

Exercice 6 ★ Problème

Pierre, Jules et Thomas se partagent la fortune de leur père.

Pierre reçoit le tiers de cette fortune, Jules les deux cinquièmes et Thomas hérite du reste.

Quelle fraction de la fortune de son père reçoit Thomas ?

Représentation de la fortune totale

✓ Correction

Part de Pierre et Jules réunis

13 + 25 = 1 × 53 × 5 + 2 × 35 × 3 = 515 + 615 = 1115

Part de Thomas (le reste)

1 − 1115 = 1515 − 1115 = 415

Thomas reçoit 4/15 de la fortune de son père.

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( ) Développer une expression

★ Identités remarquables

× Factoriser une expression

💡 Calcul astucieux

( ) Développer une expression

Développer, c'est transformer un produit en une somme. On distribue la multiplication sur l'addition et la soustraction.

Distributivité simple : k(a + b) = ka + kb

k(a − b) = ka − kb

Double distributivité : (a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd

Exemple - développement double

(2x − 3)(5x − 4) = 2x × 5x + 2x × (−4) + (−3) × 5x + (−3) × (−4)

soit : 10x² − 8x − 15x + 12 = 10x² − 23x + 12

★ Identités remarquables

Ces trois formules permettent de développer ou factoriser rapidement des expressions particulières. Il faut les connaître par cœur.

Carré d'une somme

(a + b)² = a² + 2ab + b²

Carré d'une différence

(a − b)² = a² − 2ab + b²

Différence de deux carrés

(a + b)(a − b) = a² − b²

Exemples

Carré d'une somme

(x + 5)² = x² + 2 × x × 5 + 5² = x² + 10x + 25

Carré d'une différence

(4x − 1)² = (4x)² − 2 × 4x × 1 + 1² = 16x² − 8x + 1

Différence de deux carrés

(6 + 7x)(6 − 7x) = 6² − (7x)² = 36 − 49x²

× Factoriser une expression

Factoriser, c'est transformer une somme en un produit. Deux méthodes :
① Facteur commun - on repère un facteur identique dans tous les termes.
② Identités remarquables - on reconnaît l'une des trois formes ci-dessus.

Exemples - factorisation par facteur commun

Facteur commun simple

x² + 2x = x × x + x × 2 = x(x + 2)

Facteur commun bloc parenthèse

(x+1)(2x+5) − (x+1)(3x−4) = (x+1) ((2x+5) − (3x−4)) = (x+1)(−x+9)

Exemple - factorisation par identité remarquable

16x² − 1 = (4x)² − 1² = (4x − 1)(4x + 1)

→ On reconnaît a² − b² = (a−b)(a+b) avec a = 4x et b = 1

💡 Calcul astucieux avec les identités

On peut utiliser les identités remarquables pour effectuer des calculs numériques sans calculatrice, en décomposant astucieusement les nombres.

Exemple - 48 × 99

48 × 99 = 48 × (100 − 1) = 4 800 − 48 = 4 752

Exercice 1

Parmi les expressions suivantes, souligner en bleu les sommes et en vert les produits.

① x + 3 × 5

② 5x + 7

③ 4(3x + 6)

④ (6x + 4) × 5

⑤ (4x − 5) − (7x + 3)

⑥ (x + 6)²

✓ Correction

Rappel : une somme se termine par + ou −, un produit par × ou par juxtaposition.

① x + 3 × 5 → somme (le dernier opérateur principal est +)

② 5x + 7 → somme

③ 4(3x + 6) → produit (4 × (...))

④ (6x + 4) × 5 → produit

⑤ (4x − 5) − (7x + 3) → somme (différence = somme)

⑥ (x + 6)² → produit ((x+6) × (x+6))

Exercice 2

Parmi les expressions suivantes, trouver celle qui correspond à chaque description et la recopier dans le tableau.

① 2 + x²② x²③ 2 + x/2④ 2 + x⑤ 2x⑥ 2x + 3⑦ x + 3×2⑧ 2(x + 3)

Description	Expression
La somme de 2 et de x
Le double de x
Le carré de x
La somme de 2 et de la moitié de x
La moitié de la somme de 2 et de x
La somme de x et du produit de 3 par 2
Le produit de 2 par la somme de x et de 3
La somme du produit de 2 par x et de 3

✓ Correction

Description	Expression
La somme de 2 et de x	④ 2 + x
Le double de x	⑤ 2x
Le carré de x	② x²
La somme de 2 et de la moitié de x	③ 2 + x/2
La moitié de la somme de 2 et de x	① (2 + x)/2
La somme de x et du produit de 3 par 2	⑦ x + 3×2
Le produit de 2 par la somme de x et de 3	⑧ 2(x + 3)
La somme du produit de 2 par x et de 3	⑥ 2x + 3

Exercice 3

Développer et réduire les expressions suivantes.

A(x) = (2x − 3)(5x − 4)

B(x) = 2x(5x − 3) − 7

C(x) = 3x − (x − 1) − (x + 7)(x + 3)

D(x) = (x + 5)²

E(x) = (6 + 7x)(6 − 7x)

F(x) = (4x − 1)²

✓ Correction

A(x) = (2x − 3)(5x − 4) - double distributivité

A(x) = 2x × 5x + 2x × (−4) + (−3) × 5x + (−3) × (−4)
A(x) = 10x² − 8x − 15x + 12
A(x) = 10x² − 23x + 12

B(x) = 2x(5x − 3) − 7 - distributivité simple

B(x) = 2x × 5x + 2x × (−3) − 7
B(x) = 10x² − 6x − 7
B(x) = 10x² − 6x − 7

C(x) = 3x − (x − 1) − (x + 7)(x + 3)

C(x) = 3x − x + 1 − (x² + 3x + 7x + 21)
C(x) = 3x − x + 1 − x² − 3x − 7x − 21
C(x) = −x² − 8x − 20

D(x) = (x + 5)² - identité (a + b)² = a² + 2ab + b²

D(x) = x² + 2 × x × 5 + 5² = x² + 10x + 25
D(x) = x² + 10x + 25

E(x) = (6 + 7x)(6 − 7x) - identité (a+b)(a−b) = a²−b²

E(x) = 6² − (7x)² = 36 − 49x²
E(x) = −49x² + 36

F(x) = (4x − 1)² - identité (a − b)² = a² − 2ab + b²

F(x) = (4x)² − 2 × 4x × 1 + 1² = 16x² − 8x + 1
F(x) = 16x² − 8x + 1

Exercice 4

Factoriser les expressions suivantes.

A(x) = x² + 2x

B(x) = 7x(x − 4) + (x − 4)²

C(x) = 9x² − 12x

D(x) = (x+1)(2x+5) − (x+1)(3x−4)

E(x) = 16x² − 1

F(x) = 25 − (2x − 1)²

G(x) = (2−x)(3x+1) + (3x+1)

✓ Correction

A(x) = x² + 2x - facteur commun x

A(x) = x × x + x × 2 = x(x + 2)

B(x) = 7x(x−4) + (x−4)² - facteur commun (x−4)

B(x) = (x−4)(7x + (x−4)) = (x−4)(7x + x − 4) = (x−4)(8x−4)
B(x) = 4(x−4)(2x−1)

C(x) = 9x² − 12x - facteur commun 3x

C(x) = 3x × 3x − 3x × 4 = 3x(3x − 4)

D(x) = (x+1)(2x+5) − (x+1)(3x−4) - facteur commun (x+1)

D(x) = (x+1)((2x+5) − (3x−4)) = (x+1)(2x + 5 − 3x + 4)
D(x) = (x+1)(−x+9)

E(x) = 16x² − 1 - identité a²−b² = (a−b)(a+b)

E(x) = (4x)² − 1² = (4x−1)(4x+1)

F(x) = 25 − (2x−1)² - identité a²−b² avec a=5, b=(2x−1)

F(x) = 5² − (2x−1)² = (5−(2x−1))(5+(2x−1))
F(x) = (5−2x+1)(5+2x−1) = (6−2x)(4+2x) = 2(3−x) × 2(2+x)
F(x) = 4(3−x)(x+2)

G(x) = (2−x)(3x+1) + (3x+1) - facteur commun (3x+1)

G(x) = (2−x)(3x+1) + 1×(3x+1) = (3x+1)((2−x)+1)
G(x) = (3x+1)(3−x)

Exercice 5 ★ Calcul astucieux

Effectuer sans calculatrice et astucieusement les calculs suivants. Rédiger les étapes intermédiaires.

A = 48 × 99

B = 57 × 101

C = 101²

✓ Correction

A = 48 × 99 - on écrit 99 = 100 − 1

A = 48 × (100 − 1) = 48 × 100 − 48 × 1 = 4 800 − 48 = 4 752

B = 57 × 101 - on écrit 101 = 100 + 1

B = 57 × (100 + 1) = 57 × 100 + 57 × 1 = 5 700 + 57 = 5 757

C = 101² - identité (a + b)² = a² + 2ab + b², avec a = 100, b = 1

C = (100 + 1)² = 100² + 2 × 100 × 1 + 1² = 10 000 + 200 + 1 = 10 201

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aⁿ Définition d'une puissance

10 Puissances de 10

≡ Propriétés des puissances

×10 Écriture scientifique

aⁿ Définition d'une puissance

Pour tout nombre a et tout entier n, la puissance an est le produit de n facteurs égaux à a.

Exposant positif

an = a × a × … × a (n facteurs égaux à a)

34 = 3 × 3 × 3 × 3 = 81 25 = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 = 32 (−2)3 = (−2) × (−2) × (−2) = −8

Exposant négatif et cas particuliers

a−n = 1an (a ≠ 0) - par exemple : 2−3 = 123 = 18

a0 = 1 (pour tout a ≠ 0)

a1 = a a−1 = 1a

10 Puissances de 10

Les puissances de 10 sont particulièrement importantes car elles permettent d'écrire les très grands et les très petits nombres.

Visualisation

Puissance	106	103	101	100	10−1	10−3	10−6
Valeur	1 000 000	1 000	10	1	0,1	0,001	0,000 001

10n s'écrit avec n zéros après le 1 · 10−n s'écrit 0,00…01 avec n−1 zéros après la virgule

≡ Propriétés des puissances

Ces propriétés sont valables pour tout nombre a (non nul quand nécessaire) et tous entiers n, m.

Produit de puissances

an × am = an + m

Quotient de puissances

anam = an − m

Puissance d'une puissance

(an)m = an × m

Puissance d'un produit

(a × b)n = an × bn

Exemples

34 × 32 = 34+2 = 36 = 729

107103 = 107−3 = 104 = 10 000

(102)3 = 102×3 = 106 = 1 000 000

(2 × 5)3 = 23 × 53 = 8 × 125 = 1 000

×10 Écriture scientifique

L'écriture scientifique d'un nombre est de la forme a × 10n, où a est un nombre décimal tel que 1 ≤ a < 10 (un seul chiffre non nul avant la virgule), et n est un entier relatif.

Grands nombres → exposant positif

3 789 000 = 3,789 × 1 000 000 = 3,789 × 106

Petits nombres → exposant négatif

0,000 000 037 = 3,7 × 0,000 000 01 = 3,7 × 10−8

Méthode : compter combien de fois on déplace la virgule.
On la déplace vers la gauche → exposant positif · On la déplace vers la droite → exposant négatif

Exercice 1

Compléter le tableau suivant en donnant l'écriture décimale de chaque expression.

x	107	10−5	10−4	104 × 103	10−6 × 105	(102)3
Écriture décimale

✓ Correction

x	107	10−5	10−4	104 × 103 = 107	10−6 × 105 = 10−1	(102)3 = 106
Écriture décimale	10 000 000	0,000 01	0,000 1	10 000 000	0,1	1 000 000

Calculs intermédiaires

104 × 103 = 104+3 = 107 = 10 000 000
10−6 × 105 = 10−6+5 = 10−1 = 0,1
(102)3 = 102×3 = 106 = 1 000 000

Exercice 2

Donner l'écriture scientifique des nombres suivants.

A = 3 789 000 B = 0,000 000 037

✓ Correction

A = 3 789 000

On déplace la virgule de 6 rangs vers la gauche :
A = 3,789 × 106

B = 0,000 000 037

On déplace la virgule de 8 rangs vers la droite :
B = 3,7 × 10−8

Exercice 3

Compléter ce tableau par l'écriture scientifique de chacune des distances données en km.

Planète	Saturne	Mars	Uranus	Terre
Distance (km)	14,3 × 108	228 × 106	2 880 000 000	1,49 × 108
Écriture scientifique

Planète	Neptune	Vénus	Jupiter	Mercure
Distance (km)	45 000 × 105	11 × 107	778 × 106	0,58 × 108
Écriture scientifique

✓ Correction

Saturne : 14,3 × 108 = 1,43 × 10 × 108 = 1,43 × 109
Mars : 228 × 106 = 2,28 × 102 × 106 = 2,28 × 108
Uranus : 2 880 000 000 = 2,88 × 109
Terre : 1,49 × 108 → déjà en écriture scientifique : 1,49 × 108

Neptune : 45 000 × 105 = 4,5 × 104 × 105 = 4,5 × 109
Vénus : 11 × 107 = 1,1 × 10 × 107 = 1,1 × 108
Jupiter : 778 × 106 = 7,78 × 102 × 106 = 7,78 × 108
Mercure : 0,58 × 108 = 5,8 × 10−1 × 108 = 5,8 × 107

Exercice 4 ★ Problème

La masse d'un atome de carbone est égale à 1,99 × 10−26 kg.

Les chimistes considèrent des paquets (appelés moles) contenant 6,022 × 1023 atomes.

a) Calculer la masse en grammes d'une mole d'atomes de carbone.

b) Donner une valeur arrondie de cette masse à un gramme près.

✓ Correction

a) Masse d'une mole en kg

Masse = 6,022 × 1023 × 1,99 × 10−26 kg
= (6,022 × 1,99) × 1023+(−26) kg
= 11,98 × 10−3 kg

Conversion en grammes (1 kg = 103 g)

11,98 × 10−3 kg = 11,98 × 10−3 × 103 g = 11,98 g

b) Valeur arrondie

La masse d'une mole de carbone est d'environ 12 g.

Exercice 5 ★ Problème

La vitesse de la lumière est d'environ 3 × 108 m/s.

La distance Soleil-Pluton est de 5 900 Gm.

Calculer le temps en heures mis par la lumière pour aller du Soleil à Pluton.

Rappel : 1 Gm = 1 Giga mètre = 109 m

✓ Correction

Conversion de la distance en mètres

Distance = 5 900 Gm = 5 900 × 109 m = 5,9 × 103 × 109 m = 5,9 × 1012 m

Calcul du temps en secondes

Temps = DistanceVitesse = 5,9 × 10123 × 108 = 5,93 × 1012−8 ≈ 1,967 × 104 s ≈ 19 667 s

Conversion en heures (1 h = 3 600 s)

19 667 ÷ 3 600 ≈ 5,5 h

La lumière met environ 5 h 30 min pour aller du Soleil à Pluton.

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1° Équation du premier degré

= Résoudre une équation

×=0 Équation-produit nul

1° Équation du premier degré

Une équation du premier degré à une inconnue est une égalité de la forme ax + b = cx + d, où a, b, c, d sont des nombres connus avec a ≠ c, et x une valeur inconnue à trouver.

= Résoudre une équation

Résoudre une équation, c'est trouver toutes les valeurs de l'inconnue pour lesquelles l'égalité est vérifiée. Ces valeurs s'appellent les solutions de l'équation.

Pour cela, on regroupe les termes avec x dans le membre de gauche, les termes constants dans le membre de droite, puis on divise par le coefficient de x.

Exemple 1 - équation simple

5x + 2 = 3x − 4

5x − 3x + 2 = 3x − 3x − 4 (on regroupe les x)

2x + 2 = −4

2x + 2 − 2 = −4 − 2 (on isole x)

2x = −6

x = −62 ⇒ x = −3

Exemple 2 - solution fractionnaire

6x − 5 = 2

6x = 2 + 5 = 7

x = 76 ⇒ x = 76

×=0 Équation-produit nul

Un produit est nul si et seulement si l'un de ses facteurs est nul.
A × B = 0 ⇔ A = 0 ou B = 0

Exemple 1 - produit direct

(2x − 6)(−3x + 1) = 0

Un produit est nul si l'un de ses facteurs est nul, donc :

2x − 6 = 0

2x = 6

x = 3

ou

−3x + 1 = 0

−3x = −1

x = 13

L'équation admet deux solutions : 3 et 13

Exercice 1

Résoudre les équations suivantes.

E1 : 3x − 1 = −13

E2 : −2x + 5 = 8

E3 : 5x = 0

E4 : 4 − x = 7

E5 : 11x − 3 = 2x + 9

E6 : x7 = −74

E7 : (−2x − 5)(3x + 2) = 0

✓ Correction

E1 : 3x − 1 = −13

3x = −13 + 1 = −12 ⇒ x = −123 ⇒ x = −4

E2 : −2x + 5 = 8

−2x = 8 − 5 = 3 ⇒ x = 3−2 ⇒ x = −1,5

E3 : 5x = 0

x = 0 ÷ 5 ⇒ x = 0

E4 : 4 − x = 7

−x = 7 − 4 = 3 ⇒ x = −3

E5 : 11x − 3 = 2x + 9

11x − 2x = 9 + 3 ⇒ 9x = 12 ⇒ x = 129 ⇒ x = 43

E6 : x7 = −74

4x = −7 × 7 = −49 ⇒ x = −494 ⇒ x = −12,25

E7 : (−2x − 5)(3x + 2) = 0

Un produit est nul si l'un de ses facteurs est nul :
−2x − 5 = 0 ⇒ −2x = 5 ⇒ x = −2,5
ou 3x + 2 = 0 ⇒ 3x = −2 ⇒ x = −23

Exercice 2 ★ Problème

À un semi-marathon, les organisateurs décident de donner une somme d'argent aux trois premiers coureurs.

Ils attribuent 35 de la somme totale au vainqueur, 13 au second et 200 € au troisième.

Quelle est la somme totale qu'ils décident de distribuer ?

✓ Correction

La fraction obtenue par les deux premiers : 35 + 13 = 915 + 515 = 1415

Il reste pour le troisième : 1 − 1415 = 115 de la somme totale.
Comme 115 représente 200 €, la somme totale est : 15 × 200 = 3 000 €

Exercice 3 ★ Programme de calcul

On donne le programme de calcul suivant :

① Choisir un nombre
② Ajouter 3
③ Calculer le carré du résultat
④ Soustraire 9

1. Montrer que, si on choisit le nombre 4, le résultat obtenu est 40.

2. Exprimer en fonction de x le résultat du programme. Développer et réduire pour montrer que le résultat est x² + 6x.

3. Quels nombres peut-on choisir pour que le résultat soit 0 ?

✓ Correction

1. Avec le nombre 4

4 + 3 = 7 → 7² = 49 → 49 − 9 = 40 ✓

2. Avec le nombre x

x + 3 → (x + 3)² → (x + 3)² − 9
On développe : (x + 3)² − 9 = x² + 2 × 3x + 9 − 9 = x² + 6x ✓

3. Pour que le résultat soit 0

On résout x² + 6x = 0 ⇒ x(x + 6) = 0
Un produit est nul si l'un de ses facteurs est nul :
x = 0 ou x + 6 = 0 ⇒ x = −6
On peut choisir 0 ou −6 comme nombre de départ.

Exercice 4

On considère l'équation (E) : (x + 3)(2x − 5) = 5x − 15

1. Le nombre −1 est-il solution de (E) ?

2. Justifier que 2 est solution de (E).

3. Prouver qu'il existe un autre nombre solution de (E).

✓ Correction

1. Test avec x = −1

Membre gauche : (−1 + 3)(2×(−1) − 5) = 2 × (−7) = −14
Membre droit : 5×(−1) − 15 = −5 − 15 = −20
−14 ≠ −20 ⇒ −1 n'est pas solution de (E).

2. Test avec x = 2

Membre gauche : (2 + 3)(2×2 − 5) = 5 × (−1) = −5
Membre droit : 5×2 − 15 = 10 − 15 = −5
−5 = −5 ⇒ 2 est bien solution de (E).

3. Autre solution - on résout (E)

(x + 3)(2x − 5) = 5x − 15 = 5(x − 3)
(x + 3)(2x − 5) − 5(x − 3) = 0
On développe : 2x² − 5x + 6x − 15 − 5x + 15 = 0
2x² − 4x = 0 ⇒ 2x(x − 2) = 0
2x = 0 ⇒ x = 0 ou x − 2 = 0 ⇒ x = 2
L'autre solution est x = 0.

Exercice 5 ★ Géométrie & tableur

L'unité de longueur est le cm. On considère un carré ABCD de côté 8 cm.

On enlève quatre petits carrés superposables de côté x (avec 0 < x < 4), un à chaque coin. On obtient une croix grise d'aire A(x).

1. Montrer que A(x) = 64 − 4x².

2. Quelle formule saisir en B2 dans un tableur si A2 contient la valeur de x ?

3. Pour quelle valeur de x l'aire de la croix vaut-elle 15 cm² ?

✓ Correction

1. Expression de A(x)

A(x) = Aire du grand carré − 4 × Aire d'un petit carré
A(x) = 8² − 4 × x² = 64 − 4x² ✓

2. Formule tableur

En B2 : =64−4*A2^2 ou =64−4*A2*A2

3. Résolution de A(x) = 15

64 − 4x² = 15 ⇒ 4x² = 49 ⇒ x² = 12,25 ⇒ x = 3,5 (car x > 0)
Pour x = 3,5 cm, l'aire de la croix vaut 15 cm².

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f Définition d'une fonction

↔ Image et antécédent

! Point important

📈 Courbe représentative

f Définition d'une fonction

Une fonction est un processus qui, à chaque valeur d'un nombre x, associe un unique nombre y, noté f(x).
On écrit : f : x ⟼ f(x)

↔ Image et antécédent

• Si f(x) = y, on dit que y est l'image de x par f, et que x est un antécédent de y par f.
• Trouver une image : on calcule f(x) en substituant la valeur de x.
• Trouver un antécédent : on résout l'équation f(x) = y.

Exemple - avec f(x) = 2x − 4

• Image de −3 : f(−3) = 2×(−3) − 4 = −6 − 4 = −10

• Antécédent de 24 : on résout f(x) = 24, c'est-à-dire 2x − 4 = 24
2x = 28 ⇒ x = 14 → l'antécédent de 24 est 14

! Important

• Un antécédent a une image unique.
• Une image peut avoir plusieurs antécédents (ou aucun).

📈 Courbe représentative

La représentation graphique de f est l'ensemble de tous les points de coordonnées (x ; f(x)).
Le point M(a ; b) appartient à la courbe si et seulement si f(a) = b.

Lecture graphique

Le point M(2 ; 5) est sur la courbe C donc f(2) = 5.
2 est un antécédent de 5 · 5 est l'image de 2 par f.

Exercice 1

On considère une fonction f telle que f(2) = 5. On note C sa courbe représentative.

Pour chaque affirmation, répondre par VRAI, FAUX ou On ne peut rien dire.

N°	Affirmation	Réponse
1	L'image de 5 par f est 2.
2	L'image de 2 par f est 5.
3	Un antécédent de 5 par f est 2.
4	Un antécédent de 2 par f est 5.
5	Un nombre dont l'image est 5 par f est 2.
6	2 a pour image 5 par f.
7	Un nombre dont l'image est 7 par f est 2.
8	5 a pour antécédent 2 par f.
9	2 a pour antécédent 5 par f.
10	2 a pour image 7 par f.
11	5 a pour image 2 par f.
12	Le point de coordonnées (2 ; 5) appartient à C.
13	Le point de coordonnées (5 ; 2) appartient à C.

✓ Correction

On sait uniquement que f(2) = 5, c'est-à-dire que l'image de 2 est 5.

N°	Affirmation	Réponse	Justification
1	L'image de 5 par f est 2.	On ne peut rien dire	On ne connaît pas f(5)
2	L'image de 2 par f est 5.	VRAI	c'est exactement f(2) = 5
3	Un antécédent de 5 par f est 2.	VRAI	f(2) = 5 donc 2 est antécédent de 5
4	Un antécédent de 2 par f est 5.	On ne peut rien dire	On ne sait pas si f(5) = 2
5	Un nombre dont l'image est 5 est 2.	VRAI	f(2) = 5
6	2 a pour image 5 par f.	VRAI	f(2) = 5
7	Un nombre dont l'image est 7 est 2.	FAUX	f(2) = 5 ≠ 7
8	5 a pour antécédent 2 par f.	VRAI	f(2) = 5
9	2 a pour antécédent 5 par f.	On ne peut rien dire	On ne sait pas si f(5) = 2
10	2 a pour image 7 par f.	FAUX	f(2) = 5 ≠ 7
11	5 a pour image 2 par f.	On ne peut rien dire	On ne connaît pas f(5)
12	Le point (2 ; 5) appartient à C.	VRAI	f(2) = 5 donc (2 ; 5) ∈ C
13	Le point (5 ; 2) appartient à C.	On ne peut rien dire	On ne sait pas si f(5) = 2

Exercice 2 ★ Lecture graphique

Sur le graphique ci-dessous, la courbe C₁ représente une fonction f et la courbe C₂ représente une fonction g.

1. Quelle est l'image de 2 par la fonction g ?

2. Quels sont les antécédents de 4 par la fonction g ?

3. Pour quelles valeurs de x a-t-on f(x) = g(x) ? Quelle est l'image commune ?

✓ Correction

1. Par lecture graphique sur C₂ : pour x = 2, on lit y = 3. Donc g(2) = 3.

2. La valeur y = 4 correspond au sommet de C₂, atteint en x = 3. C'est le seul antécédent de 4 par g.

3. C₁ et C₂ se croisent en x = 1 et x = 4. À ces valeurs : f(1) = g(1) = 0 et f(4) = g(4) = 3.

Exercice 3

On considère les fonctions f et g définies par f(x) = 2x − 4 et g(x) = 4x².

1. Déterminer l'image de −3 par f.

2. Déterminer l'antécédent de 24 par f.

3. Déterminer l'image de 3 par g.

4. Déterminer le (ou les) antécédent(s) de 8 par g.

✓ Correction

1. f(−3) = 2×(−3) − 4 = −6 − 4 = −10. L'image de −3 par f est −10.

2. f(x) = 24 s'écrit 2x − 4 = 24 ⇒ 2x = 28 ⇒ x = 14.
L'antécédent de 24 par f est 14.

3. g(3) = 4×3² = 4×9 = 36. L'image de 3 par g est 36.

4. g(x) = 8 s'écrit 4x² = 8 ⇒ x² = 2 ⇒ x = √2 ou x = −√2.
Les antécédents de 8 par g sont √2 ≈ 1,41 et −√2 ≈ −1,41.

Exercice 4 ★ Graphique + calcul

On considère la fonction f définie par f(x) = (x − 1)² − 3.

Par calcul :

1. Calculer f(0) et f(2). Que remarque-t-on ?

2a. Montrer que chercher les antécédents de 13 par f revient à résoudre (x − 1)² − 16 = 0.

2b. Montrer que (x − 1)² − 16 = (x − 5)(x + 3).

2c. En déduire les antécédents de 13 par f.

✓ Correction

1. Images de 0 et 2

f(0) = (0−1)² − 3 = 1 − 3 = −2
f(2) = (2−1)² − 3 = 1 − 3 = −2
On trouve la même image : f(0) = f(2) = −2. La valeur −2 a donc deux antécédents : 0 et 2.

2a. Antécédents de 13

Trouver les antécédents de 13 revient à résoudre f(x) = 13, c'est-à-dire :
(x − 1)² − 3 = 13 ⇒ (x − 1)² = 16 ⇒ (x − 1)² − 16 = 0 ✓

2b. Factorisation

(x − 1)² − 16 = (x − 1)² − 4²
= ((x − 1) − 4)((x − 1) + 4) (identité a²−b² = (a−b)(a+b))
= (x − 5)(x + 3) ✓

2c. Solutions

(x − 5)(x + 3) = 0 ⇒ x − 5 = 0 ou x + 3 = 0
⇒ x = 5 ou x = −3
Les antécédents de 13 par f sont 5 et −3.

Exercice 5

On considère une fonction f et on note C sa courbe représentative. Compléter le tableau.

Égalité	Description : image ou antécédent	Point appartenant à C
f(−2) = −1	... est l'image de ... par f	( ... ; ... ) ∈ C
f(...) = ...	... est l'image de ... par f	(5 ; 7) ∈ C
f(...) = ...	4 est un antécédent de −10 par f	( ... ; ... ) ∈ C
f(...) = ...	... est un antécédent de ... par f	(−3 ; 2) ∈ C

✓ Correction

Égalité	Description	Point appartenant à C
f(−2) = −1	−1 est l'image de −2 par f	(−2 ; −1) ∈ C
f(5) = 7	7 est l'image de 5 par f	(5 ; 7) ∈ C
f(4) = −10	4 est un antécédent de −10 par f	(4 ; −10) ∈ C
f(−3) = 2	−3 est un antécédent de 2 par f	(−3 ; 2) ∈ C

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ax+b Fonction affine

ax Fonction linéaire

% Pourcentages et fonctions linéaires

ax+b Fonction affine

Une fonction affine est une fonction de la forme f(x) = ax + b.

Par exemple : f : x ⟼ 2x − 1 est une fonction affine car elle est de la forme f(x) = ax + b avec a = 2 et b = −1.

La représentation graphique d'une fonction affine est une droite. Le nombre a est appelé le coefficient directeur (ou pente) de la droite. Le nombre b est appelé l'ordonnée à l'origine de la droite.

Exemple - f(x) = 2x − 1

Sur la représentation graphique ci-contre, on choisit deux points A et B sur la droite. En se déplaçant de A vers B, on se dirige de + 4 à l'horizontal et de + 8 à la verticale.

Le coefficient directeur se calcule ainsi :
a = Variation de yVariation de x = 84 = 2

De plus l'ordonnée à l'origine se trouve à l'intersection de C_f et de l'axe des ordonnées : ici b = −1.

En résumé : a = 2 et b = −1. Donc, cette représentation graphique est celle de la fonction f(x) = 2x − 1.

ax Fonction linéaire

Une fonction linéaire est de la forme f(x) = ax.

Par exemple : f : x ⟼ 15x est une fonction linéaire car elle est de la forme f(x) = ax avec a = 15.

La représentation graphique d'une fonction linéaire est une droite qui passe par l'origine du repère.

Les fonctions linéaires modélisent des situations de proportionnalité.

% Pourcentages et fonctions linéaires

	Prendre 5% de x, c'est multiplier x par 0,05.	Augmenter x de 5%, c'est multiplier x par 1,05.	Diminuer x de 5%, c'est multiplier x par 0,95.
Expression littérale	5% de x = 0,05x	x + 5% de x = (1 + 0,05)x = 1,05x	x − 5% de x = (1 − 0,05)x = 0,95x
Fonction linéaire	x ⟼ 0,05x	x ⟼ 1,05x	x ⟼ 0,95x

Exercice 1

Parmi ces fonctions, déterminer :

f : x ⟼ 4x − 3 g : x ⟼ 5 − 2x h : x ⟼ 3x² + 5 i : x ⟼ 4,5x j : x ⟼ −4 k : x ⟼ 1x

a) Celles qui sont affines

b) Celles qui sont linéaires

c) Celles qui sont constantes

d) Celles qui ne sont pas affines

✓ Correction

a) Fonctions affines (forme ax+b) : f et g
b) Fonctions linéaires (forme ax, avec b=0) : i
c) Fonctions constantes (forme b, avec a=0) : j
d) Fonctions non affines : h et k - h contient x², k contient 1/x

Remarque : les fonctions linéaires et constantes sont des cas particuliers des fonctions affines.

Exercice 2

Représenter les fonctions suivantes en expliquant la démarche et les calculs.

a) f(x) = −3x

b) g(x) = −2

d) i(x) = 2x − 5

✓ Correction

a) f(x) = −3x - fonction linéaire

La droite passe par O(0 ; 0). On calcule un 2e point : f(1) = −3 → (1 ; −3).

b) g(x) = −2 - fonction constante

Droite horizontale passant par (0 ; −2), parallèle à l'axe des abscisses.

d) i(x) = 2x − 5 - fonction affine (a = 2, b = −5)

On calcule deux points : i(3) = 1 → (3 ; 1) et i(5) = 5 → (5 ; 5).
On trace la droite par ces deux points. L'ordonnée à l'origine b = −5 est hors du cadre.

Exercice 3

Déterminer les fonctions représentées par les droites (d₁), (d₂) et (d₃) ci-dessous.

✓ Correction

d₁ (bleue) - passe par l'origine → fonction linéaire f(x) = ax

La droite passe par O(0 ; 0) et par (4 ; 2).
a = variation de yvariation de x = 24 = 12 → f(x) = 12x

d₂ (verte) - ne passe pas par l'origine → fonction affine g(x) = ax + b

Deux points lisibles : (1 ; 4) et (5 ; 0).
a = 0 − 45 − 1 = −44 = −1
b = ordonnée à l'origine : on lit b = 5 (intersection avec l'axe des y).
g(x) = −x + 5

d₃ (orange) - ne passe pas par l'origine → fonction affine h(x) = ax + b

b = ordonnée à l'origine : on lit b = 1 (point (0 ; 1) visible sur d₃).
On prend un deuxième point : (1 ; 3) → a = 3 − 11 − 0 = 2
h(x) = 2x + 1

Exercice 4

Déterminer la fonction linéaire associée à chacune des expressions suivantes.

a) Hausse de 2 % b) Baisse de 40 % c) Prendre 65 %

✓ Correction

a) Hausse de 2 % : 100 % + 2 % = 1 + 0,02 = 1,02 → x ⟼ 1,02x
b) Baisse de 40 % : 100 % − 40 % = 1 − 0,4 = 0,6 → x ⟼ 0,6x
c) Prendre 65 % : 65 % = 0,65 → x ⟼ 0,65x

Exercice 5 ★ Problème

Baisser une quantité de 2 % deux fois de suite revient-il à la baisser de 4 % ?

✓ Correction

Baisser x de 2 % → multiplier par 0,98 → on obtient 0,98x.
Baisser encore de 2 % → multiplier à nouveau par 0,98 → on obtient 0,98 × 0,98x = 0,9604x.

0,9604x correspond à garder 96,04 % de x, soit une baisse de 1 − 0,9604 = 3,96 %.
C'est donc moins que 4 %.

Non, deux baisses successives de 2 % ne font pas une baisse de 4 %, mais de 3,96 % seulement.

Exercice 6 ★ Problème

Un article coûte 58,40 € après avoir subi une remise de 20 %.

Quel était son prix d'origine ?

✓ Correction

On note x le prix d'origine.
Une remise de 20 % → on multiplie par 1 − 0,2 = 0,8.
Donc : 0,8x = 58,40
x = 58,40 ÷ 0,8 = 73 €

Le prix d'origine de l'article était 73 €.

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f Fréquence

x̄ Moyenne

↔ Étendue

M Médiane

f Fréquence

Fréquence = Effectif du caractère étudiéEffectif total

x̄ Moyenne

La moyenne est la répartition équitable d'une quantité totale sur un effectif total.

• Moyenne simple : Somme des valeurs du caractère étudiéEffectif total

• Moyenne pondérée : Somme des produits (valeurs × effectifs)Effectif total

↔ Étendue

L'étendue d'une série = plus grande valeur − plus petite valeur

M Médiane

Lorsque les valeurs d'une série sont rangées dans l'ordre croissant, la médiane est :
• la valeur centrale si l'effectif est impair
• la demi-somme des deux valeurs centrales si l'effectif est pair

Exemple - prix de voitures dans 28 pays de l'UE

Prix (milliers d'€)	11	12	13	14	15	16	17
Effectif	9	4	11	2	1	0	1
E.C.C.	9	13	24	26	27	27	28

a) Moyenne : (11×9 + 12×4 + 13×11 + 14×2 + 15×1 + 16×0 + 17×1) ÷ 28 = 350 ÷ 28 = 12,5 milliers d'€
Cela signifie que si le véhicule coûtait le même prix partout, ce prix serait de 12 500 €.

b) Médiane : 28 pays → moyenne des 14e et 15e valeurs. D'après les E.C.C., les 14e et 15e valeurs sont à 13. Médiane = 13 milliers d'€

c) Étendue : 17 − 11 = 6 milliers d'€

Exercice 1

Déterminer la médiane et l'étendue des séries suivantes.

a) 14 ; 26 ; 11 ; 33 ; 41 ; 13

b) 37,2 ; 39,4 ; 38 ; 38,2 ; 39 ; 38,6

✓ Correction

a) 14 ; 26 ; 11 ; 33 ; 41 ; 13

Ordre croissant : 11 ; 13 ; 14 ; 26 ; 33 ; 41
6 valeurs (pair) → médiane = 14 + 262 = 20
Étendue = 41 − 11 = 30

b) 37,2 ; 39,4 ; 38 ; 38,2 ; 39 ; 38,6

Ordre croissant : 37,2 ; 38 ; 38,2 ; 38,6 ; 39 ; 39,4
6 valeurs (pair) → médiane = 38,2 + 38,62 = 38,4
Étendue = 39,4 − 37,2 = 2,2

Exercice 2 ★ Tableau de notes

Voici les notes obtenues par une classe de 3e à un devoir.

Note	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17
Effectif	2	3	1	3	5	4	3	2	1	1

1. Déterminer la moyenne et la médiane des notes et interpréter ces résultats.

2. Calculer l'étendue et interpréter le résultat.

✓ Correction

1. Moyenne

Total des points : 8×2 + 9×3 + 10×1 + 11×3 + 12×5 + 13×4 + 14×3 + 15×2 + 16×1 + 17×1 = 306
Nombre d'élèves : 2+3+1+3+5+4+3+2+1+1 = 25
Moyenne = 306 ÷ 25 = 12,24 / 20
Si tous les élèves avaient eu la même note, elle aurait été de 12,24/20.

Médiane

25 élèves (impair) → la médiane est la 13e note dans l'ordre croissant.
Effectifs cumulés : 2 ; 5 ; 6 ; 9 ; 14 ; …
Après les notes ≤ 11 : 9 élèves. Après les notes ≤ 12 : 14 élèves.
La 13e note est donc égale à 12.
Autant d'élèves ont eu ≤ 12 que ≥ 12.

2. Étendue

Étendue = 17 − 8 = 9
Il y a 9 points d'écart entre la meilleure et la moins bonne note.

Exercice 3

Un fabricant a relevé le nombre de biscuits brisés dans un paquet.

Nombre de biscuits brisés	2	4	6	9	13
Effectif (paquets)	5	8	7	2	1

En moyenne, combien y a-t-il de biscuits brisés par paquet ?

✓ Correction

Nombre total de biscuits brisés : 5×2 + 8×4 + 7×6 + 2×9 + 1×13
= 10 + 32 + 42 + 18 + 13 = 115

Nombre total de paquets : 5 + 8 + 7 + 2 + 1 = 23

Moyenne = 115 ÷ 23 = 5 biscuits brisés par paquet

Exercice 4 ★ Problème

Voici le relevé de longueurs des gousses de vanille d'un cultivateur.

Longueur (cm)	12	15	17	22	23
Effectif	600	800	1 800	1 200	600

1. Quel est l'effectif total de cette production ?

2. Le cultivateur peut seulement conditionner les gousses dans des tubes de 20 cm. Quel pourcentage de la production a-t-il pu mettre en tubes ?

3. La chambre d'agriculture décerne un label si :

la longueur moyenne est supérieure ou égale à 16,5 cm
et la médiane est supérieure à 17,5 cm

Ce cultivateur pourra-t-il recevoir le label de qualité ?

✓ Correction

1. Effectif total

600 + 800 + 1 800 + 1 200 + 600 = 5 000 gousses

2. Pourcentage mis en tubes (longueur < 20 cm)

Gousses ≤ 17 cm : 600 + 800 + 1 800 = 3 200
Pourcentage : 3 200 ÷ 5 000 = 0,64 = 64 %

3. Label de qualité

Moyenne : (600×12 + 800×15 + 1800×17 + 1200×22 + 600×23) ÷ 5000
= 90 000 ÷ 5 000 = 18 cm ≥ 16,5 cm ✓

Médiane : 5 000 gousses → moyenne des 2 500e et 2 501e valeurs.

Longueur	12	15	17	22	23
Effectif	600	800	1 800	1 200	600
E.C.C.	600	1 400	3 200	4 400	5 000

Les 2 500e et 2 501e valeurs sont dans la longueur 17 cm. Médiane = 17 cm < 17,5 cm ✗

La condition sur la médiane n'est pas remplie (17 cm < 17,5 cm). Ce cultivateur ne pourra pas recevoir le label de qualité.

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🎲 Vocabulaire

P Probabilité d'un événement

🎲 Vocabulaire

• Une expérience aléatoire est une expérience renouvelable dont les résultats, appelés issues, sont connus sans que l'on puisse prévoir lequel se produira.

• Un ensemble d'issues est appelé événement.

• Un événement est élémentaire quand il ne peut avoir qu'un seul résultat.

• L'événement contraire de A est noté A (lire « A barre »). Il se réalise lorsque A ne se réalise pas.

• Des événements sont incompatibles s'ils n'ont aucune issue en commun.

Exemple - dé à 6 faces

On lance un dé équilibré à 6 faces numérotées de 1 à 6.
Cette expérience aléatoire admet 6 issues : {1, 2, 3, 4, 5, 6}.

Événement A : « obtenir un nombre pair » → issues : {2, 4, 6} - 3 événements élémentaires.
Événement A : « ne pas obtenir un nombre pair » → issues : {1, 3, 5}.

Événement B : « obtenir un multiple de 3 » → issues : {3, 6}
Événement C : « obtenir un nombre < 3 » → issues : {1, 2}
B et C sont incompatibles (aucune issue commune).

P Probabilité d'un événement

En situation d'équiprobabilité (toutes les issues ont la même probabilité) :

P(A) = Nombre de cas favorables à ANombre de cas total

• Une probabilité est toujours comprise entre 0 et 1.
• La somme des probabilités de toutes les issues est égale à 1.
• P(A) = 1 − P(A)
• Si A et B sont incompatibles : P(A ou B) = P(A) + P(B)

Exemple - dé à 6 faces équilibré

Chaque face a la probabilité 16.
P(« obtenir un nombre pair ») = 36 = 12
P(« ne pas obtenir un nombre pair ») = 1 − 12 = 12

Exercice 1

Pierre participe à un jeu. Trois verres retournés sont disposés sur une table. Une pièce est cachée sous l'un de ces verres. Pierre choisit un verre et le soulève.

1. Quelle est la probabilité que Pierre trouve la pièce ?

2. On modifie la règle : il y a désormais cinq verres et deux pièces cachées sous deux verres distincts. Pierre a-t-il plus de chance de trouver une pièce ?

✓ Correction

1. Pierre a 1 possibilité favorable sur 3 verres au total.
P(trouver la pièce) = 13

2. Avec 5 verres et 2 pièces, Pierre a 2 possibilités favorables sur 5.
P(trouver une pièce) = 25

Or 25 = 0,4 > 13 ≈ 0,33.
Oui, Pierre a plus de chance de trouver une pièce dans le cas 2.

Exercice 2

Une expérience aléatoire admet exactement quatre issues, notées A, B, C et D.

Sachant que p(A) = 15, p(B) = 215 et p(D) = 13, calculer p(C).

✓ Correction

La somme des probabilités de toutes les issues est égale à 1 :
p(A) + p(B) + p(C) + p(D) = 1

p(C) = 1 − (p(A) + p(B) + p(D))

p(C) = 1 − 15 − 215 − 13 = 1 − 315 − 215 − 515 = 1 − 1015 = 515 = 13

Exercice 3 ★ Arbre

Une urne contient quatre boules indiscernables au toucher : une boule porte le numéro 1, deux boules portent le numéro 2, une boule porte le numéro 3.

On tire successivement et sans remise deux boules et on additionne les numéros.

1. Faire un arbre de la situation.

2. Quelle est la probabilité d'obtenir une somme égale à 4 ?

✓ Correction

1. Arbre des tirages (boules notées 1, 2a, 2b, 3)

2. Probabilité d'obtenir la somme 4

Les cas favorables (somme = 4, marqués ✓) : 1+3, 2a+2b, 2b+2a, 3+1 → 4 cas
Nombre total de chemins : 4 × 3 = 12 cas

P(somme = 4) = 412 = 13

Exercice 4 ★ Tableau

Dans un laboratoire, on élève des souris dont voici les caractéristiques :

	Mâle	Femelle	Total
Blanche	30
Grise		8	15
Total		83

1. Compléter le tableau.

2. On prend une souris au hasard. Calculer :

a) la probabilité de sélectionner une souris blanche
b) la probabilité de sélectionner une souris femelle
c) la probabilité de sélectionner un mâle gris

3. On prend une souris blanche. Quelle est la probabilité que ce soit une femelle ?

✓ Correction

1. Tableau complété

	Mâle	Femelle	Total
Blanche	30	75	105
Grise	7	8	15
Total	37	83	120

Total général = 37 + 83 = 120 · Mâles gris = 15 − 8 = 7 · Total mâles = 30 + 7 = 37
Femelles blanches = 83 − 8 = 75 · Total blanches = 30 + 75 = 105

2. Probabilités

a) P(blanche) = 105120 = 0,875
b) P(femelle) = 83120 ≈ 0,69
c) P(mâle gris) = 7120 ≈ 0,06

3. Parmi les souris blanches

Il y a 75 femelles blanches sur 105 souris blanches.
P(femelle | blanche) = 75105 = 57 ≈ 0,71

Exercice 5

On écrit 1 sur un morceau de papier, 2 sur deux autres, 3 sur trois autres, et ainsi de suite jusqu'à écrire 10 sur dix autres. On place tous ces papiers dans une urne et on en tire un au hasard.

1. De combien de morceaux de papier dispose-t-on ?

2. Quelle est la probabilité que le nombre obtenu soit pair ?

✓ Correction

1. Nombre total de morceaux

1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 = 55 morceaux

2. Probabilité d'obtenir un nombre pair

Nombres pairs : 2, 4, 6, 8, 10 → morceaux correspondants : 2 + 4 + 6 + 8 + 10 = 30 morceaux

P(nombre pair) = 3055 = 611

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÷ Critères de divisibilité

48 Diviseurs d'un nombre

p Nombres premiers

× Décomposition en facteurs premiers

⊕ PGCD et PPCM

÷ Critères de divisibilité

Divisible par	Condition	Exemple
2	Le chiffre des unités est 0, 2, 4, 6 ou 8	348 → unités = 8 ✓
3	La somme de tous les chiffres est dans la table de 3	348 → 3+4+8 = 15 = 3×5 ✓
4	Le nombre est deux fois divisible par 2	348 ÷ 2 = 174 ÷ 2 = 87 ✓
5	Le chiffre des unités est 0 ou 5	345 → unités = 5 ✓
9	La somme de tous les chiffres est dans la table de 9	243 → 2+4+3 = 9 ✓
10	Le chiffre des unités est 0	350 → unités = 0 ✓

48 Chercher les diviseurs d'un nombre

On balaie tous les entiers à partir de 1. On s'arrête quand le carré de l'entier testé est supérieur ou égal au nombre étudié.

Exemple - diviseurs de 48

48 = 1 × 48 ⇒ ✓
48 = 2 × 24 ⇒ ✓
48 = 3 × 16 ⇒ ✓
48 = 4 × 12 ⇒ ✓
48 = 5 × ? ⇒ 48 ÷ 5 n'est pas entier ✗
48 = 6 × 8 ⇒ ✓
48 = 7 × ? ⇒ 48 ÷ 7 n'est pas entier ✗
On s'arrête car 7² = 49 > 48.

Les diviseurs de 48 sont : 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 16, 24, 48

p Nombres premiers

Un nombre est premier s'il n'est divisible que par 1 et par lui-même (il n'admet que 2 diviseurs).

Pour savoir si un nombre N est premier, il suffit de tester sa divisibilité par tous les nombres premiers inférieurs ou égaux à √N.

Exemple - 547 est-il premier ?

√547 ≈ 23,4 - on teste les nombres premiers jusqu'à 23 : 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23.
547 n'est divisible par aucun d'eux.
547 est donc un nombre premier.

× Décomposition en facteurs premiers

Tout nombre entier peut se décomposer de façon unique en un produit de facteurs premiers.

Exemple - décomposition de 600

600	2
300	2
150	2
75	3
25	5
5	5
1

600 = 2 × 2 × 2 × 3 × 5 × 5
soit 600 = 2³ × 3 × 5²

Cette décomposition permet aussi de rendre une fraction irréductible :
8430 = 2² × 3 × 72 × 3 × 5 = 2 × 75 = 145

⊕ PGCD et PPCM

• Le PGCD (Plus Grand Commun Diviseur) de deux nombres se trouve en prenant les facteurs communs aux deux décompositions avec le plus petit exposant.

• Le PPCM (Plus Petit Commun Multiple) se trouve en prenant tous les facteurs des deux décompositions avec le plus grand exposant.

Exemple - PGCD et PPCM de 175 et 1 470

175 = 5² × 7
1 470 = 2 × 3 × 5 × 7²

Facteurs communs avec le plus petit exposant : 51 × 71
PGCD(175 ; 1 470) = 5 × 7 = 35

Tous les facteurs avec le plus grand exposant : 2 × 3 × 5² × 7²
PPCM(175 ; 1 470) = 2 × 3 × 25 × 49 = 7 350

Exercice 1

Écrire la liste de tous les diviseurs de : 32 ; 67 ; 81 et 144.

✓ Correction

32 - on teste jusqu'à 6 car 6² = 36 > 32

32 = 1×32 = 2×16 = 4×8 (5 ne divise pas 32)
Diviseurs : 1, 2, 4, 8, 16, 32

67 - on teste jusqu'à 8 car 8² = 64 < 67 et 9² = 81 > 67

67 n'est divisible ni par 2, ni par 3, ni par 5, ni par 7.
Diviseurs : 1, 67 - 67 est un nombre premier.

81 - on teste jusqu'à 9 car 9² = 81

81 = 1×81 = 3×27 = 9×9
Diviseurs : 1, 3, 9, 27, 81

144 - on teste jusqu'à 12 car 12² = 144

144 = 1×144 = 2×72 = 3×48 = 4×36 = 6×24 = 8×18 = 9×16 = 12×12
Diviseurs : 1, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 12, 16, 18, 24, 36, 48, 72, 144

Exercice 2

Déterminer la liste des multiples de 7 entre 100 et 150.

✓ Correction

Le premier multiple de 7 supérieur à 100 : 7 × 15 = 105.
On liste ensuite en ajoutant 7 à chaque fois :

105 − 112 − 119 − 126 − 133 − 140 − 147

Exercice 3 ★ Nombres premiers

Entourer les nombres premiers (justifier à chaque fois), puis donner la décomposition en produit de facteurs premiers des autres.

32

59

115

187

841

227

303

503

667

883

✓ Correction

Nombres premiers (entourés)

59 : √59 ≈ 7,7 → on teste 2, 3, 5, 7 : aucun ne divise 59. Premier.
227 : √227 ≈ 15,1 → on teste 2, 3, 5, 7, 11, 13 : aucun ne divise 227. Premier.
503 : √503 ≈ 22,4 → on teste tous les premiers jusqu'à 22 : aucun ne divise 503. Premier.

Décompositions en facteurs premiers

32 = 2² × 2² × 2 = 25
115 = 5 × 23
187 = 11 × 17
841 = 29²
303 = 3 × 101
667 = 23 × 29
883 = 883 est premier (√883 ≈ 29,7 ; non divisible par 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29)

Exercice 4 ★ Bouquets

Un fleuriste dispose de 30 tulipes et 24 muscaris. Il veut composer des bouquets contenant le même nombre de tulipes et le même nombre de muscaris, et utiliser toutes ses fleurs.

1. Expliquer pourquoi le nombre de bouquets est le PGCD de 30 et 24.

2. Combien de bouquets peut-il réaliser au maximum ? Quelle est la composition de chaque bouquet ?

✓ Correction

1. Pourquoi le nombre de bouquets est le PGCD

Chaque bouquet contient le même nombre de tulipes, donc le nombre de bouquets est un diviseur de 30. De même, c'est un diviseur de 24. Le nombre de bouquets est donc un diviseur commun à 30 et 24. Pour en avoir le maximum, on prend le plus grand diviseur commun, c'est-à-dire le PGCD.

2. Calcul du PGCD(30 ; 24)

30 = 2 × 3 × 5
24 = 2 × 2 × 2 × 3 = 2³ × 3
Facteurs communs avec le plus petit exposant : 2 × 3
PGCD(30 ; 24) = 6

Le fleuriste peut réaliser au maximum 6 bouquets, chacun composé de :
30 ÷ 6 = 5 tulipes et 24 ÷ 6 = 4 muscaris.

Exercice 5 ★ Montre et réveil

La montre de Jade sonne toutes les 12 heures et son réveil sonne toutes les 15 heures. Ils ont tous deux sonné le 21 septembre à 18h30.

Quand sonneront-ils de nouveau en même temps ?

✓ Correction

On cherche le plus petit multiple commun de 12 et 15, c'est-à-dire le PPCM.

Multiples de 12 : 12, 24, 36, 48, 60, …
Multiples de 15 : 15, 30, 45, 60, …

PPCM(12 ; 15) = 60 heures

60 = 48 + 12, donc 60 heures après le 21 septembre à 18h30,
c'est le 24 septembre à 6h30.

La montre et le réveil sonneront de nouveau en même temps le 24 septembre à 6h30.

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▲ Configurations de Thalès

∥ Théorème de Thalès

✏ Méthode - Théorème direct

↔ Réciproque de Thalès

✏ Méthode - Réciproque

▲ Les deux configurations de Thalès

Configuration emboîtée

Configuration sablier

∥ Théorème de Thalès

Conditions : (AB) et (AC) sont deux droites sécantes en A, M ∈ (AB), N ∈ (AC), (MN) ∥ (BC).

Alors :

AMAB = ANAC = MNBC = k

k est appelé le rapport d'agrandissement / réduction.

✏ Méthode - Théorème direct

Le théorème de Thalès, avec des conditions strictes, permet de calculer une longueur inconnue quand on connaît 3 autres longueurs.

Les droites (EA), (PR) et (CD) sont parallèles

On donne : EB = 2, BD = 5, PR = 4, CD = 6. Calculer BR et EA.

1) Dans le triangle BCD, (EA) ∥ (CD), E ∈ (BD), A ∈ (BC)
Les droites (BC) et (BD) sont sécantes en B.
Il y a configuration de Thalès.

Donc : BEBD = BABC = EACD

Donc : 25 = EA6

Produit en croix : EA = 2 × 65 = 125 = 2,4 cm (valeur exacte)

2) Dans le triangle BCD, (PR) ∥ (CD), P ∈ (BC), R ∈ (BD)
Les droites (BC) et (BD) sont sécantes en B.
Il y a configuration de Thalès.

Donc : BPBC = BRBD = PRCD

Donc : BR5 = 46

Produit en croix : BR = 5 × 46 = 103 ≈ 3,33 cm (valeur arrondie)

↔ Réciproque du théorème de Thalès

La réciproque du théorème de Thalès, avec des conditions strictes, permet de montrer que deux droites sont parallèles.

Réciproque :

(AB) et (AC) deux droites sécantes en A, M ∈ (AB), N ∈ (AC),
les points A, B, M et A, C, N alignés dans le même ordre.

Si AMAB = ANAC alors (MN) ∥ (BC)

Si les deux rapports sont différents, les droites ne sont pas parallèles.

✏ Méthode - Réciproque

1) Les droites (AB) et (DE) sont-elles parallèles ?

Les droites (BC) et (AC) sont sécantes en C.
Les points A, C, E et les points B, C, D sont alignés dans le même ordre.

On calcule séparément les rapports :
CACE = 34 CBCD = 4,56 = 912 = 34

Donc : CACE = CBCD = 34

D'après la réciproque du théorème de Thalès : (AB) ∥ (DE)

2) Les droites (PR) et (ED) sont-elles parallèles ?

On calcule séparément les rapports :
CPCD = 46 = 23 CRCE = 2,54 = 58

Donc : CPCD ≠ CRCE

D'après la réciproque du théorème de Thalès : (PR) et (ED) ne sont pas parallèles

Exercice 1

Sur la figure ci-dessous, les droites (BG) et (ON) sont parallèles.

On donne : XB = 4 cm, XG = 5,3 cm, ON = 2,2 cm et OB = 2,4 cm.

Calculer BG et XN.

✓ Correction

Les droites (BG) et (ON) sont parallèles. Les points X, O, B et X, N, G sont alignés dans le même ordre. XO = XB − OB = 4 − 2,4 = 1,6 cm.

D’après le théorème de Thalès : XOXB = XNXG = ONBG soit 1,64 = XN5,3 = 2,2BG

XN = 1,6 × 5,34 = 2,12 cm
BG = 2,2 × 41,6 = 5,5 cm

Exercice 2

Sur la figure ci-dessous, les droites (LG) et (KC) sont parallèles.

On donne : HL = 2 cm, LG = 2,7 cm, HC = 2 cm et KC = 1,6 cm.

Calculer HG et HK.

✓ Correction

Les droites (LG) et (KC) sont parallèles. Les points H, K, L et H, C, G sont alignés dans le même ordre.
D’après le théorème de Thalès : HLHK = HGHC = LGKC soit 2HK = HG2 = 2,71,6

HK = 2 × 1,62,7 ≈ 1,19 cm
HG = 2 × 2,71,6 ≈ 3,375 cm

Exercice 3 ★ Mesure d’un puits

On veut mesurer la profondeur d’un puits. Y, A, C et E, A, D sont alignés dans le même ordre.

On sait que : AD = 1,5 m ; EY = 1,7 m ; EA = 0,6 m.

1. Montrer que (DC) et (EY) sont parallèles.

2. Calculer la profondeur DC du puits.

✓ Correction

1. (DC) ∥ (EY)

D’après le codage de la figure : DC ⊥ DE et EY ⊥ DE.
Deux droites perpendiculaires à une même droite sont parallèles.
Donc (DC) ∥ (EY).

2. Calcul de DC

Les droites (DC) et (EY) sont parallèles. Les points Y, A, C et E, A, D sont alignés dans le même ordre.
Les droites (YC) et (ED) sont sécantes en A.
D’après le théorème de Thalès : EAAD = EYDC soit 0,61,5 = 1,7DC

DC = 1,5 × 1,70,6 = 4,25 m

La profondeur du puits est de 4,25 m.

Exercice 4 ★ Réciproque

Les droites (AB) et (DE) sont-elles parallèles ?

Les points C, A, D et C, B, E sont alignés dans le même ordre.

On donne : CA = 3 cm, CD = 4,5 cm, CB = 4 cm, CE = 6 cm.

✓ Correction

CACD = 34,5 = 23 CBCE = 46 = 23

Les deux rapports sont égaux.

D’après la réciproque du théorème de Thalès, (AB) ∥ (DE).

Exercice 5 ★ Réciproque

Les droites (PR) et (ED) sont-elles parallèles ?

Les points C, P, E et C, R, D sont alignés dans le même ordre.

On donne : CP = 4 cm, CE = 8 cm, CR = 2,5 cm, CD = 4 cm.

✓ Correction

CPCE = 48 = 12 CRCD = 2,54 = 58

12 ≠ 58

D’après la réciproque du théorème de Thalès, (PR) et (ED) ne sont pas parallèles.

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▲ Côtés d'un triangle rectangle

cos cos, sin, tan

✏ Calculer la longueur d'un côté

∠ Calculer un angle

= Relations trigonométriques

▲ Côtés d'un triangle rectangle

La trigonométrie est l'étude des rapports entre les longueurs des côtés d'un triangle rectangle et les angles aigus de ce triangle.

Le côté en face de l'angle droit s'appelle l'Hypoténuse [H] (ce nom ne dépend pas du choix de l'angle).

Une fois l'angle aigu α choisi, les deux autres côtés prennent les noms suivants :

Le côté en face de α : le côté Opposé [O]
Le côté qui forme l'angle α (entre α et l'angle droit) : le côté Adjacent [A]

Triangle ABC rectangle en B - angle choisi : B∧CA

Dans le triangle ABC rectangle en B, si l'on choisit l'angle B∧CA :
• [BC] est le côté Adjacent • [AB] est le côté Opposé • [AC] est l'Hypoténuse

Si l'on choisit l'angle B∧AC, les côtés adjacent et opposé s'intervertissent :
• [AB] devient le côté Adjacent • [BC] devient le côté Opposé

cos Définitions - cos, sin, tan

Dans un triangle rectangle, pour un angle aigu α :

cos α = Côté Adjacent à αHypoténuse = BCAC

sin α = Côté Opposé à αHypoténuse = ABAC

tan α = Côté Opposé à αCôté Adjacent à α = ABBC

Moyen mnémotechnique : SOH-CAH-TOA
Sin = Opposé/Hypoténuse · Cos = Adjacent/Hypoténuse · Tan = Opposé/Adjacent

✏ Méthode - Calculer la longueur d'un côté

Lorsque dans un triangle rectangle on connaît un côté et un angle aigu, on peut calculer les autres côtés.

Exemple - Triangle EDF rectangle en E, calculer ED

Données : DF = 5 cm (hypoténuse), E∧DF = 30°
Côté cherché : ED (adjacent à E∧DF) Côté connu : DF (hypoténuse)
→ On utilise le cosinus

cos E∧DF = EDDF soit cos 30° = ED5

Produit en croix : ED = 5 × cos 30° ≈ 4,3 cm

On utilise de la même manière sin et tan, selon les côtés connus.

∠ Méthode - Calculer un angle

Lorsque dans un triangle rectangle on connaît au moins deux côtés, on peut calculer les angles aigus avec les fonctions arccos, arcsin ou arctan.

Exemple - Triangle ABC rectangle en B, calculer l’angle B∧CA

Données : AC = 4,5 cm (hypoténuse), AB = 3 cm (opposé à B∧CA)
→ On utilise le sinus puis l'arcsinus

sin B∧CA = ABAC = 34,5

B∧CA = arcsin34,5 ≈ 41,8°

On utilise de la même manière arccos et arctan, selon les côtés connus.

= Relations trigonométriques

Pour toutes valeurs de l'angle α :

sin²α + cos²α = 1
tan α = sin αcos α

Exercice 1

Dans le triangle GHI rectangle en I :

GI = 8 cm ; H∧GI = 35°

Calculer GH.

✓ Correction

GHI est rectangle en I. GH est l'hypoténuse, GI est le côté adjacent à H∧GI.
→ On utilise le cosinus

cos H∧GI = GIGH soit cos 35° = 8GH

GH = 8cos 35° ≈ 9,77 cm

Exercice 2

Dans le triangle PQR rectangle en Q :

PR = 12 cm ; Q∧PR = 50°

Calculer QR.

✓ Correction

PQR est rectangle en Q. PR est l'hypoténuse, QR est le côté opposé à Q∧PR.
→ On utilise le sinus

sin Q∧PR = QRPR soit sin 50° = QR12

QR = 12 × sin 50° ≈ 9,19 cm

Exercice 3

Dans le triangle MNO rectangle en N :

MO = 7 cm ; MN = 4 cm

Calculer l'angle N∧MO (c'est-à-dire l'angle en M).

✓ Correction

MNO est rectangle en N. MO est l’hypoténuse, MN est le côté adjacent à l’angle N∧MO.
→ On utilise le cosinus puis l’arccos

cos N∧MO = MNMO = 47

N∧MO = arccos47 ≈ 55,2°

Exercice 4

Dans le triangle ABC rectangle en A :

AC = 6 cm ; BC = 10 cm

Calculer l'angle A∧BC.

✓ Correction

ABC est rectangle en A. BC est l'hypoténuse, AC est le côté opposé à A∧BC.
→ On utilise le sinus puis l'arcsinus

sin A∧BC = ACBC = 610

A∧BC = arcsin610 ≈ 36,9°

Exercice 5 ★ Téléphérique du Pic du Midi

Le téléphérique du Pic du Midi de Bigorre comporte deux tronçons.

Le premier part de La Mongie (M) situé à 1 753 m d'altitude et arrive à la gare du Taoulet (T). Le dénivelé est de 556 m. L'angle d'inclinaison T∧MC = 18°.

Le deuxième tronçon repart du Taoulet (T) et arrive à la gare du Pic du Midi (P). Sur ce tronçon, le téléphérique parcourt TP = 2 630 m. L'angle P∧TB = 12,1°.

1. Calculer la longueur MT du premier tronçon, à 1 m près.

2. À quelle altitude se situe la gare du Pic du Midi ?

✓ Correction

1. Longueur MT (premier tronçon)

MTC est un triangle rectangle en C.
TC = 556 m (côté opposé à T∧MC = 18°) ; MT est l'hypoténuse.
→ On utilise le sinus

sin T∧MC = TCMT soit MT × sin 18° = TC

MT = TCsin 18° = 556sin 18° ≈ 1 800 m

2. Altitude du Pic du Midi

PTB est un triangle rectangle en B.
TP = 2 630 m (hypoténuse) ; PB est le côté opposé à P∧TB = 12,1°.
→ On utilise le sinus

sin P∧TB = PBTP soit PB = TP × sin 12,1°

PB = 2 630 × sin 12,1° ≈ 551 m

Altitude Pic du Midi = altitude M + TC + PB
= 1 753 + 556 + 551 = 2 860 m

Conçu par Philippe Auria · Collège Fernand Donatien · Fort-de-France
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